Bac 2026, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1.

On utilise la relation de récurrence $V_{n+1}=0{,}995\,V_n+6$ avec $V_0=0$.

Pour $n=0$ :

Pour $n=1$ :

Donc $V_1=6$ et $V_2=11{,}97$.

Réponse : $V_1=6$ litres et $V_2=11{,}97$ litres.

Question 2.

La variable v doit contenir $V_0=0$ avant la boucle.

À chaque passage dans la boucle, on remplace $V_k$ par $V_{k+1}=0{,}995\,V_k+6$.

Après $n$ passages, v contient donc $V_n$.

Programme complété :

def volume(n):
    v = 0
    for k in range(n):
        v = 0.995 * v + 6
    return v

Par exemple, volume(2) renvoie $0{,}995\times6+6=11{,}97$, valeur de $V_2$ trouvée à la question 1.

Donc la fonction volume(n) renvoie le volume $V_n$ de substance polluante présente dans le bassin après $n$ heures.

Question 3.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal P(n)$ la propriété : $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant1200$.

Initialisation.

On a $V_0=0$ et $V_1=6$, et $0\leqslant6\leqslant1200$.

Donc $V_0\leqslant V_1\leqslant1200$ : $\mathcal P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $\mathcal P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $V_{k+1}\leqslant V_{k+2}\leqslant1200$.

On multiplie chaque membre par $0{,}995$, qui est strictement positif : le sens des inégalités est conservé.

On ajoute $6$ à chaque membre :

D'après la relation de récurrence, $0{,}995\,V_k+6=V_{k+1}$ et $0{,}995\,V_{k+1}+6=V_{k+2}$.

De plus $0{,}995\times1200+6=1194+6=1200$.

On obtient donc

Donc $\mathcal P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$\mathcal P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant1200$.

Question 4.

D'après la question 3, pour tout entier naturel $n$, $V_n\leqslant V_{n+1}$ : la suite $(V_n)$ est croissante.

D'après la même question, $V_n\leqslant1200$ pour tout $n$ (car $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant1200$) : la suite $(V_n)$ est majorée par $1200$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(V_n)$ converge vers un réel $\ell$.

On détermine $\ell$. On a $\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=\ell$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}V_{n+1}=\ell$.

Dans l'égalité $V_{n+1}=0{,}995\,V_n+6$, le passage à la limite donne

On en déduit

Donc la suite $(V_n)$ converge, et sa limite est $1200$.

Réponse : la suite $(V_n)$ converge vers $1200$.

Partie B

Question 1. a)

L'équation $(E)$ s'écrit $y'=-0{,}005\,y+6$. C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

La fonction constante $y_p=1200$ est une solution particulière : en effet $y_p'=0$ et $-0{,}005\times1200+6=-6+6=0$.

Les solutions de l'équation homogène associée $y'=-0{,}005\,y$ sont les fonctions $t\longmapsto C\,\mathrm{e}^{-0{,}005t}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Les solutions de $(E)$ s'obtiennent en ajoutant la solution particulière à celles de l'équation homogène.

Donc les solutions de $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$ sont les fonctions

Question 1. b)

La fonction $v$ est solution de $(E)$, donc il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t\geqslant0$,

On a $v(0)=0$, donc

Donc, pour tout $t\in[0\,;+\infty[$,

Question 1. c)

On a $\lim\limits_{t\to+\infty}(-0{,}005\,t)=-\infty$.

Par limite d'une composée, avec $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, on obtient

Donc

Réponse : $\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=1200$.

Question 1. d)

La fonction $v$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$.

Pour tout $t\geqslant0$, la dérivée de $t\longmapsto\mathrm{e}^{-0{,}005t}$ est $t\longmapsto-0{,}005\,\mathrm{e}^{-0{,}005t}$, donc

Une exponentielle est strictement positive, donc $v'(t)>0$ pour tout $t\geqslant0$.

Donc la fonction $v$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Question 2.

Le bassin contient $30\,000$ litres d'eau. Le seuil de $5\,\%$ correspond à

D'après la question 1. d), la fonction $v$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

D'après la question 1. c), sa limite en $+\infty$ est $1200$.

Une fonction strictement croissante est strictement inférieure à sa limite en $+\infty$, donc $v(t)<1200$ pour tout $t\geqslant0$.

On peut le vérifier directement : $v(t)=1200-1200\,\mathrm{e}^{-0{,}005t}<1200$ car $\mathrm{e}^{-0{,}005t}>0$.

Ainsi, pour tout $t\geqslant0$, $v(t)<1200<1500$.

Donc, selon ce modèle, le volume de substance polluante ne dépasse jamais $5\,\%$ du volume du bassin : le propriétaire n'aura pas à procéder à un nettoyage complet.

Réponse : non.

Question 3.

On cherche les réels $t\geqslant0$ tels que $v(t)>50$.

Comme $v$ est strictement croissante et continue sur $[0\,;+\infty[$, avec $v(0)=0<50$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=1200>50$, le volume dépasse $50$ litres exactement à partir de l'unique instant $t_0$ tel que $v(t_0)=50$.

On résout l'inéquation :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

On divise par $-0{,}005$, qui est strictement négatif : le sens de l'inégalité change.

La valeur exacte de l'instant cherché est donc

À la calculatrice, $t_0\approx8{,}512$ heures.

On convertit la partie décimale en minutes : $0{,}512\times60\approx30{,}7$ minutes, soit $31$ minutes à la minute près.

Donc le volume de substance polluante dépasse $50$ litres au-delà de l'instant $t_0=200\ln\dfrac{24}{23}$, soit environ $8$ h $31$ min après le début de la pollution.

Réponse : $t_0=200\ln\dfrac{24}{23}\approx8{,}512$ h, soit $8$ h $31$ min (arrondi à la minute).

Points clés attendus

• Récurrence rédigée complètement (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion)   multiplication par $0{,}995>0$ pour conserver le sens des inégalités.

• Convergence : citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée), puis obtenir la limite par l'équation $\ell=0{,}995\,\ell+6$.

• Équation différentielle : solution particulière constante, solutions homogènes, puis détermination de la constante avec $v(0)=0$.

• Sens de variation par le signe de $v'$ (exponentielle strictement positive), limite en $+\infty$ avec $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$.

• Inéquation avec $\ln$ : changement de sens en divisant par $-0{,}005$, valeur exacte avant la valeur approchée, conversion de la partie décimale en minutes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.