Bac 2026, Métropole : exercice 3

Affirmation 1 : vraie.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités :

On cherche la probabilité conditionnelle $P_F(O)$.

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(F)\neq0$),

On calcule d'abord $P(O\cap F)$ à partir de $P_O(F)$ :

Donc

Donc, si la personne choisie est une femme, la probabilité qu'elle joue de la Pop est bien $0{,}832$ : l'affirmation 1 est vraie.

Réponse : vraie, $P_F(O)=0{,}832$.

Affirmation 2 : fausse.

On répète $5000$ fois la même épreuve de Bernoulli : prélever une personne et regarder si elle est musicien professionnel (succès), de probabilité $p=0{,}062$.

Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, donc ces $5000$ épreuves sont identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(5000\,;0{,}062)$.

À la calculatrice, on obtient

Arrondie au dixième, cette probabilité vaut $1{,}0$ et non $0{,}4$.

On peut aussi remarquer que $E(X)=5000\times0{,}062=310$, donc la valeur $340$ est supérieure à l'espérance et $P(X\leqslant340)$ est nettement supérieure à $0{,}5$.

Donc l'affirmation 2 est fausse.

Réponse : fausse, $P(X\leqslant340)\approx0{,}962$ (soit $1{,}0$ au dixième).

Affirmation 3 : vraie.

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(5000\,;0{,}062)$, donc

L'évènement « $230<X<390$ » équivaut à $-80<X-310<80$, c'est-à-dire à $|X-310|<80$.

Son évènement contraire est $|X-E(X)|\geqslant80$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à la variable $X$, d'espérance $E(X)=310$ et de variance $V(X)=290{,}78$ : pour tout réel $a>0$,

Avec $a=80$ :

On en déduit, par passage à l'évènement contraire,

Donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet bien d'affirmer qu'il y a plus de $95\,\%$ de chance que le nombre de musiciens professionnels de l'échantillon soit strictement compris entre $230$ et $390$ : l'affirmation 3 est vraie.

Réponse : vraie, $P(230<X<390)\geqslant1-\dfrac{290{,}78}{6400}\approx0{,}954>0{,}95$.

Affirmation 4 : vraie.

Parmi les $10$ personnes, il y a $4$ musiciens professionnels et $10-4=6$ personnes qui ne le sont pas.

Une équipe est formée de $2$ musiciens professionnels choisis parmi $4$ et de $3$ non professionnels choisis parmi $6$.

Le choix des musiciens professionnels et celui des autres personnes sont indépendants, et l'ordre ne compte pas dans une équipe.

Le nombre de choix de $2$ musiciens professionnels parmi $4$ est $\dbinom42=6$.

Le nombre de choix de $3$ non professionnels parmi $6$ est $\dbinom63=20$.

D'après le principe multiplicatif, le nombre d'équipes différentes est

Donc on peut former $120$ équipes différentes : l'affirmation 4 est vraie.

Réponse : vraie, $\dbinom42\times\dbinom63=120$.

Points clés attendus

• Traduire les pourcentages en probabilités et distinguer $P_O(F)$ de $P_F(O)$   passer par $P(O\cap F)$.

• Loi binomiale : nommer $n=5000$ et $p=0{,}062$, et justifier par la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise).

• Affirmation 2 : donner la valeur approchée obtenue à la calculatrice et la comparer à la valeur annoncée.

• Bienaymé-Tchebychev : calculer $E(X)$ et $V(X)$, écrire l'intervalle sous la forme $|X-E(X)|<a$, puis passer à l'évènement contraire.

• Dénombrement : combinaisons de $2$ parmi $4$ et de $3$ parmi $6$, multipliées.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.