Bac 2026, Métropole : exercice 1

Question 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Ces deux vecteurs sont non nuls.

Supposons qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AC}=\lambda\,\overrightarrow{AB}$.

La troisième coordonnée donne $0=\lambda\times(-1)$, donc $\lambda=0$.

Mais alors $\overrightarrow{AC}=\vec 0$, ce qui est faux car sa première coordonnée vaut $-2$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

Question 2. a)

On calcule les produits scalaires de $\vec n\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ avec les deux vecteurs précédents :

Le vecteur $\vec n$ est donc orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$.

Or $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) (question 1).

Un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Donc le vecteur $\vec n$ est normal au plan (ABC).

Question 2. b)

Le vecteur $\vec n\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC), donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme

Le point A$(2\,;1\,;1)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Vérification avec les deux autres points :

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est

Question 3.

Pour $t=0$, la représentation paramétrique donne le point de coordonnées $(0\,;0\,;2)$, c'est-à-dire D.

Donc la droite $\Delta$ passe par D.

Cette représentation paramétrique s'écrit $\begin{cases}x=0+1\times t\\y=0+(-1)\times t\\z=2+4\times t\end{cases}$, donc $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$.

On a $\vec u=\vec n$, et $\vec n$ est normal au plan (ABC) d'après la question 2. a).

Un vecteur directeur de $\Delta$ est donc normal au plan (ABC) : la droite $\Delta$ est orthogonale à (ABC).

Donc la droite passant par D et orthogonale au plan (ABC) admet bien la représentation paramétrique proposée.

Question 4.

Le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point d'intersection de la droite $\Delta$ (perpendiculaire à (ABC) passant par D) et du plan (ABC).

Un point de $\Delta$ de paramètre $t$ appartient à (ABC) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du plan :

On développe et on réduit :

On remplace $t$ par $-\dfrac16$ dans la représentation paramétrique :

Donc le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point H$\left(-\dfrac16\,;\dfrac16\,;\dfrac43\right)$.

Réponse : H$\left(-\dfrac16\,;\dfrac16\,;\dfrac43\right)$, obtenu pour $t=-\dfrac16$.

Question 5. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ :

Le repère étant orthonormé, on en déduit :

On a $BA=BC$.

Donc le triangle ABC est isocèle en B.

Question 5. b)

Soit I le milieu du segment [AC]. Ses coordonnées sont

Le triangle ABC est isocèle en B, donc la médiane (BI) est aussi la hauteur issue de B.

Vérification : $\overrightarrow{BI}\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)\times(-2)+2\times(-2)+1\times0=4-4=0$.

On calcule les longueurs utiles :

L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une base par la hauteur correspondante :

Donc l'aire du triangle ABC est égale à $3\sqrt2$.

Question 6. a)

Le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est H, donc la hauteur du tétraèdre ABCD relative à la base ABC est la longueur $DH$.

On a $\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}-\frac16-0\\\frac16-0\\\frac43-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac16\\\frac16\\-\frac23\end{pmatrix}$, donc

La formule du volume d'un tétraèdre donne, avec $\mathcal B=\mathcal A_{ABC}=3\sqrt2$ et $h=DH=\dfrac{\sqrt2}{2}$ :

Donc le volume du tétraèdre ABCD est égal à $1$.

Réponse : $V=1$.

Question 6. b)

On calcule de nouveau le volume du tétraèdre ABCD, en prenant maintenant le triangle BCD pour base.

La hauteur relative à cette base est la distance du point A au plan (BCD), admise égale à $\sqrt2$.

La formule du volume donne

Comme $V=1$ d'après la question 6. a), on obtient

Donc l'aire du triangle BCD est égale à $\dfrac{3\sqrt2}{2}$.

Réponse : $\mathcal A_{BCD}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$.

Question 7. a)

Les points A, B et C ne sont pas alignés (question 1) et définissent le plan (ABC).

Donc les points A, B, C et $\mathrm D_k$ sont coplanaires si et seulement si $\mathrm D_k$ appartient au plan (ABC).

Le point $\mathrm D_k$ a pour coordonnées $(0\,;0\,;k)$   il appartient à (ABC) si et seulement si

Pour cette valeur de $k$, le point $\mathrm D_k$ appartient au plan (ABC), donc son projeté orthogonal sur ce plan est lui-même.

Donc les points A, B, C et $\mathrm D_k$ sont coplanaires si et seulement si $k=\dfrac54$, et le projeté orthogonal de $\mathrm D_{5/4}$ sur (ABC) est le point $\mathrm D_{5/4}\left(0\,;0\,;\dfrac54\right)$ lui-même.

Réponse : $k=\dfrac54$   le projeté orthogonal est $\mathrm D_{5/4}\left(0\,;0\,;\dfrac54\right)$.

Question 7. b)

Supposons qu'il existe un réel $k$ tel que A soit le projeté orthogonal de $\mathrm D_k$ sur (ABC).

Alors la droite $(\mathrm D_k\mathrm A)$ est orthogonale au plan (ABC), donc le vecteur $\overrightarrow{\mathrm D_k\mathrm A}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec n$.

On a $\overrightarrow{\mathrm D_k\mathrm A}\begin{pmatrix}2\\1\\1-k\end{pmatrix}$ et $\vec n\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$.

Il existerait donc un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{\mathrm D_k\mathrm A}=\lambda\vec n$, ce qui donne $2=\lambda$ (première coordonnée) et $1=-\lambda$ (deuxième coordonnée).

On aurait alors $\lambda=2$ et $\lambda=-1$, ce qui est impossible.

Donc il n'existe aucune valeur de $k$ telle que A soit le projeté orthogonal de $\mathrm D_k$ sur le plan (ABC).

Réponse : non.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avant de parler du plan (ABC), puis de vecteur normal.

• Pour un vecteur normal : produit scalaire nul avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Projeté orthogonal : intersection de la perpendiculaire au plan passant par D et du plan, système résolu en $t$.

• Aire d'un triangle isocèle par la hauteur issue du sommet principal, volume par $V=\dfrac13\mathcal B h$ avec la hauteur $DH$.

• Question 7 : coplanarité équivaut à l'appartenance de $\mathrm D_k$ au plan, et la colinéarité avec $\vec n$ conduit à une contradiction.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.