Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2026, Centres étrangers : exercice 1

10 juin 2026 · jour 1 · 5 points

La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.

Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu'à la rupture.

La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames.

Son stock est composé de 60 % de lames du fournisseur A, de 12 % de lames du fournisseur B, le reste venant du fournisseur C.

Une étude qualité a montré que :

90 % des lames du fournisseur A étaient conformes
95 % des lames du fournisseur B étaient conformes
85 % des lames du fournisseur C étaient conformes.

Partie A

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l'équipementier.

On considère les évènements suivants :

$A$ : « La lame testée provient du fournisseur A »
$B$ : « La lame testée provient du fournisseur B »
$C$ : « La lame testée provient du fournisseur C »
$T$ : « La lame testée est conforme ».

On note $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$ .

Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.
Déterminer $P\big(A \cap \overline{T}\,\big)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de 0,892.
Sachant que la lame testée n'est pas conforme, déterminer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B. On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une lame de l'équipementier ne soit pas conforme est égale à 0,108.

Lors d'une compétition d'escrime, l'équipementier apporte un échantillon de 75 lames provenant de son stock.

On considère qu'il les a choisies au hasard et de manière indépendante.

De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On arrondira le résultat au millième.
L'équipementier affirme que la probabilité qu'il y ait strictement plus de 8 lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à 50 %.

A-t-il raison ?

Partie C

Soit $n$ un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l'équipementier est présent.

Il apporte à chaque fois un échantillon de 75 lames.

Les variables aléatoires $X_{1}$ , …, $X_{n}$  , que l'on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes.

On pose $M_{n}=\dfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}$ .

Déterminer l'espérance $\mathrm{E}\left(M_{n}\right)$ et la variance $\mathrm{V}\left(M_{n}\right)$ de la variable aléatoire $M_{n}$  .
Justifier l'inégalité suivante, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$P\left(\left| M_{n}-8,1\right| \geqslant 2\right) \leqslant \dfrac{1,8063}{n}.$
Déterminer une valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $P\left(\left| M_{n}-8,1\right|<2\right) \geqslant 0,95$ .

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

D'après l'énoncé, le stock est composé de $60\,\%$ de lames du fournisseur A et de $12\,\%$ de lames du fournisseur B. Donc

P(A)=0{,}6,\qquad P(B)=0{,}12.

Le reste du stock provient du fournisseur C :

P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0{,}6-0{,}12=0{,}28.

Les pourcentages de lames conformes fournis par l'étude qualité sont des probabilités conditionnelles :

P_A(T)=0{,}9,\qquad P_B(T)=0{,}95,\qquad P_C(T)=0{,}85.

Les évènements $T$ et $\overline{T}$ sont contraires, donc

P_A(\overline{T})=1-0{,}9=0{,}1,\qquad P_B(\overline{T})=1-0{,}95=0{,}05,\qquad P_C(\overline{T})=1-0{,}85=0{,}15.

Pour compléter l'arbre, on inscrit sur les trois branches issues de la racine $0{,}6$ , $0{,}12$ et $0{,}28$ (vers $A$ , $B$ , $C$ ), puis sur les branches issues de $A$ les nombres $0{,}9$ (vers $T$ ) et $0{,}1$ (vers $\overline{T}$ ), sur celles issues de $B$ les nombres $0{,}95$ et $0{,}05$ , et sur celles issues de $C$ les nombres $0{,}85$ et $0{,}15$ .

Question 2.

On utilise la formule de la probabilité d'une intersection :

P\left(A\cap\overline{T}\right)=P(A)\times P_A\left(\overline{T}\right).

On remplace par les valeurs :

P\left(A\cap\overline{T}\right)=0{,}6\times 0{,}1=0{,}06.

Donc la probabilité que la lame testée provienne du fournisseur A et ne soit pas conforme est $0{,}06$ : $6\,\%$ des lames de l'équipementier sont des lames du fournisseur A non conformes.

Réponse : $P\left(A\cap\overline{T}\right)=0{,}06$ .

Question 3.

Les évènements $A$ , $B$ et $C$ sont deux à deux incompatibles (une lame provient d'un seul fournisseur) et leur réunion est l'univers entier, puisque tout le stock provient de A, de B ou de C. Donc $\{A\,;B\,;C\}$ est une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

P(T)=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C\cap T).

On exprime chaque terme avec les probabilités conditionnelles :

\begin{aligned} P(T)&=P(A)\times P_A(T)+P(B)\times P_B(T)+P(C)\times P_C(T)\\ &=0{,}6\times 0{,}9+0{,}12\times 0{,}95+0{,}28\times 0{,}85\\ &=0{,}54+0{,}114+0{,}238\\ &=0{,}892. \end{aligned}

Donc la probabilité que la lame testée soit conforme est bien égale à $0{,}892$ .

Question 4.

On cherche la probabilité de $B$ sachant $\overline{T}$ . Par définition d'une probabilité conditionnelle (avec $P\left(\overline{T}\right)\neq 0$ ) :

P_{\overline{T}}(B)=\dfrac{P\left(B\cap\overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)}.

Numérateur :

P\left(B\cap\overline{T}\right)=P(B)\times P_B\left(\overline{T}\right)=0{,}12\times 0{,}05=0{,}006.

Dénominateur, par évènement contraire :

P\left(\overline{T}\right)=1-P(T)=1-0{,}892=0{,}108.

Donc

P_{\overline{T}}(B)=\dfrac{0{,}006}{0{,}108}=\dfrac{1}{18}\approx 0{,}056.

Sachant que la lame testée n'est pas conforme, la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B est environ $0{,}056$ , arrondie au millième.

Réponse : $P_{\overline{T}}(B)=\dfrac{1}{18}\approx 0{,}056$ .

Partie B

Question 1.

On choisit $75$ lames au hasard, de manière indépendante, avec un tirage assimilé à un tirage avec remise. On répète donc $75$ fois la même épreuve de Bernoulli de manière indépendante, dont le succès est « la lame est non conforme », de probabilité $0{,}108$ d'après l'énoncé.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : on admet qu'elle suit une loi binomiale.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=0{,}108$ , notée $\mathcal{B}(75\,;\,0{,}108)$ .

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(75\,;\,0{,}108)$ .

Question 2.

Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ :

P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.

Ici, avec $k=6$ :

P(X=6)=\dbinom{75}{6}\times 0{,}108^{6}\times 0{,}892^{69}.

À la calculatrice, on obtient $P(X=6)\approx 0{,}1201$ , soit $0{,}120$ au millième.

Donc la probabilité que $6$ lames exactement soient non conformes dans l'échantillon est environ $0{,}120$ .

Réponse : $P(X=6)\approx 0{,}120$ .

Question 3.

L'évènement « strictement plus de $8$ lames non conformes » est $\{X>8\}$ . Son contraire est $\{X\leqslant 8\}$ , donc

P(X>8)=1-P(X\leqslant 8).

À la calculatrice, $P(X\leqslant 8)\approx 0{,}578$ , donc

P(X>8)\approx 1-0{,}578=0{,}422.

Or $0{,}422<0{,}5$ .

Donc l'équipementier a raison : la probabilité qu'il y ait strictement plus de $8$ lames non conformes dans l'échantillon est environ $0{,}422$ , inférieure à $50\,\%$ .

Réponse : $P(X>8)\approx 0{,}422<0{,}5$ : oui.

Partie C

Question 1.

Les variables $X_1,\dots,X_n$ sont indépendantes et suivent chacune la loi de $X$ , c'est-à-dire la loi $\mathcal{B}(75\,;\,0{,}108)$ . Pour tout $i$ :

E(X_i)=75\times 0{,}108=8{,}1,

V(X_i)=75\times 0{,}108\times 0{,}892=7{,}2252.

Espérance. Par linéarité de l'espérance :

E(M_n)=\dfrac{1}{n}\left(E(X_1)+\cdots+E(X_n)\right)=\dfrac{1}{n}\times n\times 8{,}1=8{,}1.

Variance. Pour un réel $a$ , $V(aY)=a^{2}V(Y)$ . Les variables étant indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances :

V(M_n)=\dfrac{1}{n^{2}}\left(V(X_1)+\cdots+V(X_n)\right)=\dfrac{1}{n^{2}}\times n\times 7{,}2252=\dfrac{7{,}2252}{n}.

Donc $E(M_n)=8{,}1$ et $V(M_n)=\dfrac{7{,}2252}{n}$ .

Réponse : $E(M_n)=8{,}1$ et $V(M_n)=\dfrac{7{,}2252}{n}$ .

Question 2.

La variable aléatoire $M_n$ admet une espérance $E(M_n)=8{,}1$ et une variance $V(M_n)=\dfrac{7{,}2252}{n}$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique, avec $\delta=2>0$ :

P\left(\left|M_n-E(M_n)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(M_n)}{\delta^{2}}.

Donc

P\left(\left|M_n-8{,}1\right|\geqslant 2\right)\leqslant\dfrac{7{,}2252}{n\times 2^{2}}=\dfrac{7{,}2252}{4n}=\dfrac{1{,}8063}{n}.

L'inégalité demandée est ainsi justifiée pour tout entier $n$ non nul.

Question 3.

Les évènements $\left\{\left|M_n-8{,}1\right|<2\right\}$ et $\left\{\left|M_n-8{,}1\right|\geqslant 2\right\}$ sont contraires. D'après la question 2 :

P\left(\left|M_n-8{,}1\right|<2\right)=1-P\left(\left|M_n-8{,}1\right|\geqslant 2\right)\geqslant 1-\dfrac{1{,}8063}{n}.

Il suffit donc que $1-\dfrac{1{,}8063}{n}\geqslant 0{,}95$ .

Comme $n>0$ , on résout :

1-\dfrac{1{,}8063}{n}\geqslant 0{,}95\Longleftrightarrow \dfrac{1{,}8063}{n}\leqslant 0{,}05\Longleftrightarrow n\geqslant\dfrac{1{,}8063}{0{,}05}=36{,}126.

Donc tout entier $n\geqslant 37$ convient. Par exemple, pour $n=37$ :

1-\dfrac{1{,}8063}{37}\approx 0{,}951\geqslant 0{,}95.

Interprétation : si l'équipementier est présent à au moins $37$ compétitions, la probabilité que le nombre moyen de lames non conformes par échantillon de $75$ lames soit à une distance strictement inférieure à $2$ de $8{,}1$ , c'est-à-dire strictement compris entre $6{,}1$ et $10{,}1$ , est supérieure ou égale à $0{,}95$ .

Réponse : $n=37$ convient (tout entier $n\geqslant 37$ ).

Points clés attendus

Traduire les données en probabilités conditionnelles et citer la partition $\{A\,;B\,;C\}$ pour la formule des probabilités totales.
Écrire la définition de $P_{\overline{T}}(B)$ avec numérateur et dénominateur détaillés, et arrondir au millième.
Justifier la loi binomiale (répétition de $75$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et donner ses paramètres.
Passer par l'évènement contraire pour $P(X>8)$ et conclure en comparant à $0{,}5$ .
Utiliser la linéarité de l'espérance, l'indépendance pour la variance, puis citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec ses hypothèses.
Passer à l'évènement contraire pour obtenir le seuil $n\geqslant 37$ et interpréter dans le contexte.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Centres étrangers, 10 juin 2026 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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