Bac 2026, Antilles-Guyane : exercice 3

Question 1. a) Affirmation 1 : fausse.

Les solutions de l'équation différentielle $y'+2y=0$, c'est-à-dire $y'=-2y$, sont les fonctions $x\mapsto C\,\mathrm{e}^{-2x}$ avec $C\in\mathbb{R}$.

La condition $f(0)=1$ s'écrit $C\,\mathrm{e}^{0}=1$, donc $C=1$.

Ainsi, pour tout réel $x$ :

On calcule l'image de $\ln 2$ :

Or $\dfrac14\neq\dfrac12$.

Donc le point $\mathrm{A}\left(\ln 2\,;\dfrac12\right)$ n'appartient pas à la courbe représentative de $f$ : l'affirmation 1 est fausse.

Réponse : faux, car $f(\ln 2)=\dfrac14\neq\dfrac12$.

Question 1. b) Affirmation 2 : fausse.

Une courbe est au-dessus de ses tangentes sur un intervalle si et seulement si la fonction est convexe sur cet intervalle. On étudie donc le signe de $f''$.

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ (somme de fonctions usuelles dérivables), et pour tout $x$ de cet intervalle :

Pour $x\in\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$, on a $\cos(x)\leqslant 0$, donc $f''(x)\leqslant 0$.

La fonction $f$ est donc concave sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ : sa courbe est située en dessous de ses tangentes, et non au-dessus.

Vérification sur un exemple : la tangente au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ a pour équation

En $x=\pi$, cette tangente prend la valeur $2\times\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}\approx 4{,}71$, tandis que $f(\pi)=\pi-\cos(\pi)=\pi+1\approx 4{,}14$.

Comme $f(\pi)<\dfrac{3\pi}{2}$, la courbe est en dessous de cette tangente au point d'abscisse $\pi$.

Donc l'affirmation 2 est fausse.

Réponse : faux, car $f''(x)=\cos(x)\leqslant 0$ : $f$ est concave, sa courbe est en dessous de ses tangentes.

Question 1. c) Affirmation 3 : vraie.

Pour tout $x>0$, on a $-1\leqslant\sin(x)\leqslant 1$. En divisant par $x>0$ (le sens des inégalités est conservé) :

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\dfrac1x\right)=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$.

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit :

Donc, par somme de limites :

La limite de $f$ en $+\infty$ est le réel $1$ : la droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.

Donc l'affirmation 3 est vraie.

Réponse : vrai, car $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$.

Question 2. Affirmation 4 : vraie.

La fonction $f:x\mapsto 2x-\mathrm{e}^{3x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $x$ :

On calcule alors $f'(x)-3f(x)$ :

L'égalité $f'(x)-3f(x)=2-6x$ est vraie pour tout réel $x$ : la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E_2)$.

Donc l'affirmation 4 est vraie.

Réponse : vrai, car $f'(x)-3f(x)=2-6x$ pour tout réel $x$.

Points clés attendus

• Question 1. a) : résoudre $y'=-2y$ puis utiliser la condition initiale pour déterminer la constante, et calculer $f(\ln 2)$ avec $\mathrm{e}^{\ln a}=a$.

• Question 1. b) : relier la position de la courbe par rapport à ses tangentes à la convexité, et étudier le signe de $f''$ sur l'intervalle donné.

• Question 1. c) : encadrer $\dfrac{\sin(x)}{x}$, citer le théorème des gendarmes, puis conclure sur l'asymptote horizontale.

• Question 2 : vérifier une solution en calculant $f'(x)-3f(x)$ et en retrouvant exactement le second membre.

• Chaque affirmation exige la valeur de vérité (vrai ou faux) et une justification : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.