Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration / Annales du bac

Bac 2026, Antilles-Guyane : exercice 1

17 juin 2026 · jour 2 · 6 points

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs …) pour transmettre des messages.

À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaitre dans le message.

Une étude statistique a permis d'établir que pour chaque relai :

si le message reçu est sans erreur, il a $94 \%$ de chances d'être transmis sans erreur au relai suivant
si le message reçu comporte des erreurs, il y a $35 \%$ de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.

On choisit au hasard un message envoyé au cours d'une journée.

Pour un évènement $E$ quelconque, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

Partie A

On considère les évènements suivants :

$A_{1}$ : « le message reçu par le premier relai est sans erreur »
$A_{2}$ : « le message reçu par le deuxième relai est sans erreur ».

On admet que $P\left(A_{1}\right)=0,96$ .

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
Montrer que $P\left(A_{2}\right)=0,9164$ .
Calculer $P_{A_{2}}\big(\,\overline{A_{1}}\,\big)$ .

On arrondira le résultat à $10^{-4}$ .

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Figure de l'énoncé, exercice 1, Antilles-Guyane 17 juin 2026

Partie B

Pour vérifier le bon fonctionnement d'un relai, des tests indépendants les uns des autres sont effectués.

Un test est positif si la présence d'au moins une erreur est détectée.

On admet que la probabilité qu'un test soit positif est égale à 0,04.

On choisit au hasard un échantillon de 50 tests réalisés sur le relai.

Le nombre de tests réalisés est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 50 tests associe le nombre de tests positifs.

Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,04$ .
1. Déterminer la probabilité que 4 tests soient positifs dans cet échantillon.
  
  On arrondira le résultat à $10^{-2}$ .
2. Donner la probabilité qu'au moins un test soit positif dans cet échantillon.
  
  On arrondira le résultat à $10^{-2}$ .
3. Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$ .
On étudie une chaîne de transmission de l'information composée de 25 relais.

On considère la variable aléatoire $X_{1}$ qui à chaque échantillon de 50 tests pratiqués sur le relai 1 associe le nombre de tests positifs.

On définit de la même manière les variables aléatoires $X_{2}$ pour le relai $2$ , …, $X_{25}$ pour le relai 25.

On admet que ces 25 variables aléatoires sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à 2 et la même variance égale à 1,92.

On note $M$ la variable aléatoire donnant la moyenne du nombre de tests positifs lors des contrôles effectués sur les 25 relais.

On a donc $M=\dfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{25}}{25}$ .
1. Vérifier que $\mathrm{E}(M)=2$ et montrer que $\mathrm{V}(M)=0,0768$ .
2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 7 est supérieure à 0,99.
  
  Indication : on pourra utiliser, sans justification, le fait que :
  $P(M<7)=P(-3<M<7).$

Partie C

On désigne par $n$ un entier naturel non nul.

On s'intéresse à une chaîne de transmission de l'information composée de $n$ relais.

On considère l'évènement $A_{n}$ : « le message reçu par le $n$ -ième relai est sans erreur ».

On note $p_{n}$ la probabilité que le message reçu au $n$ -ième relai soit sans erreur.

On a ainsi $p_{n}=P\left(A_{n}\right)$ et $p_{1}=0,96$ .

On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ ,

p_{n+1}=0,59 p_{n}+0,35.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , $p_{n+1} \leqslant p_{n}$ .
Montrer que la suite $(p_{n})$ est convergente.
Déterminer la valeur exacte de sa limite.

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

On a $P(A_1)=0{,}96$ , donc

P\big(\overline{A_1}\big)=1-0{,}96=0{,}04.

Si le message reçu est sans erreur, il est transmis sans erreur avec la probabilité $0{,}94$ :

P_{A_1}(A_2)=0{,}94, \qquad\text{donc}\qquad P_{A_1}\big(\overline{A_2}\big)=1-0{,}94=0{,}06.

Si le message reçu comporte des erreurs, elles sont corrigées avec la probabilité $0{,}35$ :

P_{\overline{A_1}}(A_2)=0{,}35, \qquad\text{donc}\qquad P_{\overline{A_1}}\big(\overline{A_2}\big)=1-0{,}35=0{,}65.

Arbre pondéré complété :

de la racine partent $A_1$ (pondéré par $0{,}96$ ) et $\overline{A_1}$ (pondéré par $0{,}04$ )
de $A_1$ partent $A_2$ (pondéré par $0{,}94$ ) et $\overline{A_2}$ (pondéré par $0{,}06$ )
de $\overline{A_1}$ partent $A_2$ (pondéré par $0{,}35$ ) et $\overline{A_2}$ (pondéré par $0{,}65$ ).

Donc l'arbre est complété avec les probabilités ci-dessus, et la somme des probabilités issues de chaque nœud vaut bien $1$ .

Question 2.

Les évènements $A_1$ et $\overline{A_1}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers).

D'après la formule des probabilités totales :

P(A_2)=P(A_1\cap A_2)+P\big(\overline{A_1}\cap A_2\big).

On utilise la définition d'une probabilité conditionnelle, $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ :

\begin{aligned} P(A_2) &= P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)+P\big(\overline{A_1}\big)\times P_{\overline{A_1}}(A_2)\\ &= 0{,}96\times 0{,}94+0{,}04\times 0{,}35\\ &= 0{,}9024+0{,}014\\ &= 0{,}9164. \end{aligned}

Donc $P(A_2)=0{,}9164$ .

Question 3.

Par définition d'une probabilité conditionnelle, comme $P(A_2)\neq 0$ :

P_{A_2}\big(\overline{A_1}\big)=\dfrac{P\big(\overline{A_1}\cap A_2\big)}{P(A_2)}.

On a $P\big(\overline{A_1}\cap A_2\big)=0{,}04\times 0{,}35=0{,}014$ , donc

P_{A_2}\big(\overline{A_1}\big)=\dfrac{0{,}014}{0{,}9164}\approx 0{,}0153.

Réponse : $P_{A_2}\big(\overline{A_1}\big)=\dfrac{0{,}014}{0{,}9164}\approx 0{,}0153$ (arrondie à $10^{-4}$ ).

Interprétation : sachant que le message reçu par le deuxième relai est sans erreur, la probabilité que le message reçu par le premier relai ait comporté des erreurs (corrigées lors de la transmission) est d'environ $1{,}53\,\%$ .

Partie B

Question 1. a)

On répète $50$ fois la même épreuve de Bernoulli (un test, positif avec la probabilité $p=0{,}04$ ), ces épreuves étant indépendantes : la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;0{,}04)$ , comme l'énonce le texte.

Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant 50$ :

P(X=k)=\binom{50}{k}\times 0{,}04^{k}\times 0{,}96^{50-k}.

Pour $k=4$ :

P(X=4)=\binom{50}{4}\times 0{,}04^{4}\times 0{,}96^{46}\approx 0{,}0902.

Réponse : $P(X=4)\approx 0{,}09$ (arrondie à $10^{-2}$ ).

Donc la probabilité que $4$ tests soient positifs dans cet échantillon est d'environ $0{,}09$ .

Question 1. b)

L'évènement « au moins un test est positif » est $\{X\geqslant 1\}$ , contraire de $\{X=0\}$ .

On a donc

P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}96^{50}\approx 0{,}8701.

Réponse : $P(X\geqslant 1)=1-0{,}96^{50}\approx 0{,}87$ (arrondie à $10^{-2}$ ).

Donc la probabilité qu'au moins un test soit positif dans cet échantillon est d'environ $0{,}87$ .

Question 1. c)

Pour une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ , on a $\mathrm{E}(X)=np$ et $\mathrm{V}(X)=np(1-p)$ .

Ici $n=50$ et $p=0{,}04$ :

\mathrm{E}(X)=50\times 0{,}04=2,

\mathrm{V}(X)=50\times 0{,}04\times 0{,}96=1{,}92.

Réponse : $\mathrm{E}(X)=2$ et $\mathrm{V}(X)=1{,}92$ .

Question 2. a)

Par linéarité de l'espérance :

\mathrm{E}(M)=\dfrac{1}{25}\Big(\mathrm{E}(X_1)+\mathrm{E}(X_2)+\cdots+\mathrm{E}(X_{25})\Big)=\dfrac{25\times 2}{25}=2.

Les variables $X_1,\dots,X_{25}$ sont indépendantes : la variance de leur somme est la somme de leurs variances.

De plus $\mathrm{V}(aY)=a^2\,\mathrm{V}(Y)$ pour tout réel $a$ . Donc

\mathrm{V}(M)=\left(\dfrac{1}{25}\right)^{2}\times\Big(\mathrm{V}(X_1)+\cdots+\mathrm{V}(X_{25})\Big)=\dfrac{1}{625}\times 25\times 1{,}92=\dfrac{1{,}92}{25}=0{,}0768.

Donc $\mathrm{E}(M)=2$ et $\mathrm{V}(M)=0{,}0768$ .

Question 2. b)

On cherche à minorer $P(M<7)$ . D'après l'indication, $P(M<7)=P(-3<M<7)$ .

On a l'équivalence

-3<M<7\iff -5<M-2<5\iff |M-2|<5.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à la variable aléatoire $M$ , d'espérance $\mathrm{E}(M)=2$ et de variance $\mathrm{V}(M)=0{,}0768$ . Pour $\delta=5>0$ :

P\big(|M-\mathrm{E}(M)|\geqslant\delta\big)\leqslant\dfrac{\mathrm{V}(M)}{\delta^{2}},

soit

P\big(|M-2|\geqslant 5\big)\leqslant\dfrac{0{,}0768}{25}=0{,}003072.

Les évènements $\{|M-2|<5\}$ et $\{|M-2|\geqslant 5\}$ sont contraires, donc

P(M<7)=P\big(|M-2|<5\big)=1-P\big(|M-2|\geqslant 5\big)\geqslant 1-0{,}003072=0{,}996928.

Or $0{,}996928>0{,}99$ .

Donc la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à $7$ est supérieure à $0{,}99$ .

Partie C

Question 1.

Démontrons par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $p_{n+1}\leqslant p_n$ », pour tout entier $n\geqslant 1$ .

Initialisation. On a $p_1=0{,}96$ et

p_2=0{,}59\times 0{,}96+0{,}35=0{,}5664+0{,}35=0{,}9164.

Donc

p_2\leqslant p_1

\mathcal{P}(1)

est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_{k+1}\leqslant p_k$ (hypothèse de récurrence).

Montrons $\mathcal{P}(k+1)$ , c'est-à-dire $p_{k+2}\leqslant p_{k+1}$ .

On multiplie les deux membres de l'hypothèse de récurrence par $0{,}59>0$ , ce qui conserve le sens de l'inégalité :

0{,}59\,p_{k+1}\leqslant 0{,}59\,p_k.

On ajoute $0{,}35$ à chaque membre :

0{,}59\,p_{k+1}+0{,}35\leqslant 0{,}59\,p_k+0{,}35.

D'après la relation de récurrence admise, cela s'écrit

p_{k+2}\leqslant p_{k+1}.

Donc

\mathcal{P}(k+1)

est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $p_{n+1}\leqslant p_n$ pour tout entier $n\geqslant 1$ .

Question 2.

D'après la question précédente, la suite $(p_n)$ est décroissante.

Chaque $p_n$ est une probabilité, donc $p_n\geqslant 0$ : la suite $(p_n)$ est minorée par $0$ .

D'après le théorème de la limite monotone, une suite décroissante et minorée converge.

Donc la suite $(p_n)$ est convergente.

Question 3.

Soit $\ell$ la limite de $(p_n)$ . La suite $(p_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$ .

On passe à la limite dans l'égalité $p_{n+1}=0{,}59\,p_n+0{,}35$ :

\ell=0{,}59\,\ell+0{,}35.

On en déduit

0{,}41\,\ell=0{,}35,\qquad\text{donc}\qquad \ell=\dfrac{0{,}35}{0{,}41}=\dfrac{35}{41}.

Réponse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{35}{41}\approx 0{,}854$ .

Donc, sur une longue chaîne de relais, la probabilité que le message reçu soit sans erreur se rapproche de $\dfrac{35}{41}$ .

Points clés attendus

Traduire les données en probabilités conditionnelles et citer la formule des probabilités totales avec sa partition $\{A_1,\overline{A_1}\}$ .
Préciser l'arrondi demandé et interpréter $P_{A_2}\big(\overline{A_1}\big)$ dans le contexte.
Justifier le modèle binomial (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) avant d'utiliser sa formule, son espérance et sa variance.
Pour $V(M)$ : utiliser l'indépendance et $\mathrm{V}(aY)=a^2\mathrm{V}(Y)$   pour Bienaymé-Tchebychev : passer à l'évènement contraire.
Récurrence rédigée (initialisation, hérédité, conclusion), puis théorème de la limite monotone et passage à la limite dans la relation de récurrence.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Antilles-Guyane, 17 juin 2026 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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