Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 4

Question 1. Lecture graphique : la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de sa tangente en A à gauche du point A, et en dessous de cette tangente à droite du point A.

Donc on conjecture que $f$ est convexe sur $]-\infty\,;1]$ et concave sur $[1\,;+\infty[$, le point A d'abscisse $1$ semblant être un point d'inflexion.

Question 2. On a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$. Par composée, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\ln(x^2+1)=+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}5\ln(x^2+1)=+\infty$.

De plus $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-3x)=+\infty$.

Par somme de limites, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

Question 3. a) Soit $x>0$. On factorise $x^2+1=x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$, avec $x^2>0$ et $1+\dfrac1{x^2}>0$.

On utilise la propriété $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ pour $a,b>0$, puis $\ln(x^2)=2\ln x$ car $x>0$ :

Donc

On factorise $x$ dans les deux premiers termes : $10\ln x-3x=x\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)$.

Donc, pour tout $x>0$,

Question 3. b) D'après le théorème des croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)=-3$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$, par produit, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(10\dfrac{\ln x}{x}-3\right)=-\infty$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac1{x^2}\right)=1$. Par composée avec la fonction $\ln$, continue en $1$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)=\ln1=0$.

Par somme de limites, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

Question 4. a) Pour tout réel $x$, $x^2+1>0$ : la fonction $x\mapsto\ln(x^2+1)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, comme composée de $u:x\mapsto x^2+1$ (dérivable, strictement positive) et de $\ln$.

La dérivée de $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$, avec $u'(x)=2x$. Donc, pour tout réel $x$,

Donc, pour tout réel $x$,

Question 4. b) Pour tout réel $x$, $x^2+1>0$ : $f'(x)$ a le même signe que le trinôme $-3x^2+10x-3$.

Son discriminant est $\Delta=10^2-4\times(-3)\times(-3)=100-36=64>0$. Il a deux racines :

Le coefficient de $x^2$ est $-3<0$ : le trinôme est strictement positif entre les racines et strictement négatif à l'extérieur. Donc

• $f'(x)<0$ sur $\left]-\infty\,;\dfrac13\right[$

• $f'(x)>0$ sur $\left]\dfrac13\,;3\right[$

• $f'(x)<0$ sur $]3\,;+\infty[$

• $f'\left(\dfrac13\right)=f'(3)=0$.

Calculons les valeurs aux extrema :

Donc $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty\,;\dfrac13\right]$ (de $+\infty$, limite en $-\infty$, à $f\left(\dfrac13\right)\approx-0{,}47$), strictement croissante sur $\left[\dfrac13\,;3\right]$ (jusqu'à $f(3)\approx2{,}51$), puis strictement décroissante sur $[3\,;+\infty[$ (vers $-\infty$, limite en $+\infty$).

Le minimum local en $\dfrac13$ vaut $5\ln\dfrac{10}9-1$ et le maximum local en $3$ vaut $5\ln10-9$.

Question 5. a) Pour tout réel $x$, $f''(x)=\dfrac{-10x^2+10}{(x^2+1)^2}$. Le dénominateur est strictement positif, donc $f''(x)$ a le signe de $-10x^2+10=10(1-x)(1+x)$.

Ce trinôme a pour racines $-1$ et $1$ et son coefficient dominant est $-10<0$ : il est strictement positif entre les racines, strictement négatif à l'extérieur. Donc

• $f''(x)<0$ sur $]-\infty\,;-1[$ : $f$ est concave sur $]-\infty\,;-1]$

• $f''(x)>0$ sur $]-1\,;1[$ : $f$ est convexe sur $[-1\,;1]$

• $f''(x)<0$ sur $]1\,;+\infty[$ : $f$ est concave sur $[1\,;+\infty[$.

La conjecture annonçait $f$ convexe sur $]-\infty\,;1]$ : c'est faux sur $]-\infty\,;-1]$, où $f$ est concave. Donc la conjecture est rejetée.

Elle est seulement exacte sur $[-1\,;1]$ (convexité) et sur $[1\,;+\infty[$ (concavité). Comme $f''$ change de signe en $-1$ et en $1$, les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $-1$ et $1$ sont des points d'inflexion.

Question 5. b) La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.

On a $f(1)=5\ln(1+1)-3=5\ln2-3$ et $f'(1)=\dfrac{-3+10-3}{1+1}=\dfrac42=2$.

Donc

Donc la tangente en A a pour équation réduite $y=2x+5\ln2-5$ (soit $y\approx2x-1{,}534$).

Réponse : $y=2x+5\ln2-5$.

Question 5. c) D'après la question 5. a), $f$ est concave sur $[1\,;+\infty[$. Donc, sur cet intervalle, la courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de ses tangentes, en particulier de la tangente en A.

Donc, pour tout $x\geqslant1$,

On remplace $f(x)$ :

On divise par $5>0$ :

Donc, pour tout $x\geqslant1$, $\ln(x^2+1)\leqslant x+\ln(2)-1$.

Points clés attendus

• Levée de la forme indéterminée en $+\infty$ avec la forme factorisée de la question 3. a) et le théorème des croissances comparées.

• Dérivée de $\ln(u)$ en $\dfrac{u'}{u}$, avec $u=x^2+1>0$, puis signe du trinôme (discriminant, racines, signe du coefficient dominant).

• Signe de $f''$ pour la convexité et la concavité : conclure explicitement que la conjecture est rejetée sur $]-\infty\,;-1]$.

• Équation de la tangente $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ avec les valeurs exactes.

• Pour l'inégalité finale : $f$ concave sur $[1\,;+\infty[$, donc $\mathcal{C}_f$ en dessous de sa tangente.

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