+ qu'un profMon espace

Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2025, Polynésie : exercice 4

2 septembre 2025 · 5 points Vrai / Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. On considère la fonction ff définie sur ]0  ;  +∞[]0 \;;\; +\infty [ par : f(x)=xln⁡(x)f(x)=x \ln(x).

    Affirmation 1 :

    ∫1ef(x) dx=e2+14\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \,\mathrm{d} x=\dfrac{\mathrm{e}^{2}+1}{4}

  2. Soient nn et kk deux entiers naturels non nuls tels que k⩽nk \leqslant n.

    Affirmation 2 :

    n×(n−1k−1)=k×(nk)n \times\binom{ n-1}{k-1}=k \times\binom{ n}{k}

  3. Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right).

    Soit dd la droite de représentation paramétrique :   {x=2t+1y=2t+1z=−t,t∈R\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{2}t+1 \\ y&=&2 t+1 \\ z&=&-t \end{array},\quad t \in \mathbb{R}\right..

    Soit d′d' la droite de représentation paramétrique :   {x=2t′−1y=−t′+2z=−t′+1,t′∈R\left\{\begin{array}{l c l} x&=&2t'-1 \\ y&=&-t'+2 \\ z&=&\phantom{-}t'+1 \end{array},\quad t' \in \mathbb{R}\right..

    Soit PP le plan d'équation cartésienne : 2x+y−2z+18=02 x + y-2 z+ 18 = 0.

    Soit A le point de coordonnées (−1  ;  −3  ;  2)(-1 \;;\;-3 \;;\; 2) et B le point de coordonnées (−5  ;  −5  ;  6)(-5 \;;\;-5\;;\;6).

    On appelle plan médiateur du segment [AB] le plan passant par le milieu du segment [AB] et orthogonal à la droite (AB).

    Affirmation 3 : Le point A appartient à la droite dd.

    Affirmation 4 : Les droites dd et d′d' sont sécantes.

    Affirmation 5 : Le plan PP est le plan médiateur du segment [AB].

Voir le corrigé

Affirmation 1. Vraie.

On calcule l'intégrale par intégration par parties.

On pose u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x et v′(x)=xv'(x)=x   alors u′(x)=1xu'(x)=\dfrac1x et v(x)=x22v(x)=\dfrac{x^2}{2}.

Les fonctions uu et vv sont de classe C1\mathcal{C}^1 sur [1 ;e]⊂ ]0 ;+∞[[1\,;\mathrm{e}]\subset\,]0\,;+\infty[, donc la formule d'intégration par parties s'applique :

∫1exln⁡x dx=[x22ln⁡x]1e−∫1ex22×1x dx.\int_1^{\mathrm{e}}x\ln x\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}}\dfrac{x^2}{2}\times\dfrac1x\,\mathrm{d}x.

Le crochet vaut e22ln⁡(e)−12ln⁡(1)=e22\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}\ln(\mathrm{e})-\dfrac{1}{2}\ln(1)=\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}.

L'intégrale restante vaut

∫1ex2 dx=[x24]1e=e2−14.\int_1^{\mathrm{e}}\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^{\mathrm{e}}=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{4}.

Donc

∫1exln⁡x dx=e22−e2−14=2e2−e2+14=e2+14.\int_1^{\mathrm{e}}x\ln x\,\mathrm{d}x=\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}-\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{4}=\dfrac{2\mathrm{e}^2-\mathrm{e}^2+1}{4}=\dfrac{\mathrm{e}^2+1}{4}.

Donc l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Vraie.

Soient nn et kk deux entiers naturels non nuls tels que k⩽nk\leqslant n.

Alors k−1k-1 et n−kn-k sont des entiers naturels et k−1⩽n−1k-1\leqslant n-1, donc (n−1k−1)\dbinom{n-1}{k-1} est bien défini.

On utilise l'expression (nk)=n!k! (n−k)!\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}.

On a k!=k×(k−1)!k!=k\times(k-1)! et n!=n×(n−1)!n!=n\times(n-1)!, donc

k(nk)=k×n×(n−1)!k×(k−1)! (n−k)!=n×(n−1)!(k−1)! (n−k)!.k\binom{n}{k}=k\times\dfrac{n\times(n-1)!}{k\times(k-1)!\,(n-k)!}=\dfrac{n\times(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}.

Comme (n−1)−(k−1)=n−k(n-1)-(k-1)=n-k, on reconnaît

(n−1)!(k−1)! ((n−1)−(k−1))!=(n−1k−1).\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,\left((n-1)-(k-1)\right)!}=\binom{n-1}{k-1}.

Donc k(nk)=n×(n−1k−1)k\dbinom{n}{k}=n\times\dbinom{n-1}{k-1}.

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Vraie.

Le point A(−1 ;−3 ;2)A(-1\,;-3\,;2) appartient à dd si et seulement s'il existe un réel tt tel que t+1=−1t+1=-1, 2t+1=−32t+1=-3 et −t=2-t=2.

La première équation donne t=−2t=-2.

Pour t=−2t=-2 : x=−2+1=−1x=-2+1=-1, y=2×(−2)+1=−3y=2\times(-2)+1=-3 et z=−(−2)=2z=-(-2)=2.

Les trois coordonnées sont celles de AA pour la même valeur t=−2t=-2.

Donc le point AA appartient à la droite dd.

Donc l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Fausse.

Un vecteur directeur de dd est u⃗(12−1)\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} et un vecteur directeur de d′d' est u⃗′(2−11)\vec{u}'\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : les coordonnées en xx donnent un rapport 22, alors que celles en yy donnent un rapport −12-\dfrac12.

Donc les droites dd et d′d' ne sont pas parallèles.

Elles sont donc soit sécantes, soit non coplanaires. On cherche un éventuel point commun, c'est-à-dire un couple (t ;t′)(t\,;t') solution du système

{t+1=2t′−12t+1=−t′+2−t=t′+1.\left\{\begin{array}{l} t+1=2t'-1\\ 2t+1=-t'+2\\ -t=t'+1. \end{array}\right.

La troisième équation donne t=−t′−1t=-t'-1.

En reportant dans la première : −t′−1+1=2t′−1-t'-1+1=2t'-1, soit −t′=2t′−1-t'=2t'-1, donc 3t′=13t'=1 et t′=13t'=\dfrac13.

On en déduit t=−13−1=−43t=-\dfrac13-1=-\dfrac43.

On reporte dans la deuxième équation : le membre de gauche vaut 2×(−43)+1=−532\times\left(-\dfrac43\right)+1=-\dfrac53 et le membre de droite vaut −13+2=53-\dfrac13+2=\dfrac53.

Or −53≠53-\dfrac53\neq\dfrac53 : le système n'a pas de solution.

Donc les droites dd et d′d' n'ont aucun point commun : elles ne sont pas sécantes.

Donc l'affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5. Vraie.

Le plan médiateur de [AB][AB] est le plan passant par le milieu de [AB][AB] et orthogonal à la droite (AB)(AB). On vérifie ces deux conditions pour le plan PP.

Orthogonalité à (AB)(AB).

On a AB→(−5−(−1)−5−(−3)6−2)=(−4−24)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5-(-1)\\-5-(-3)\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix}.

Un vecteur normal à PP est n⃗(21−2)\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}, d'après son équation cartésienne.

On remarque que AB→=−2 n⃗\overrightarrow{AB}=-2\,\vec{n} : les vecteurs sont colinéaires.

Donc la droite (AB)(AB) est orthogonale au plan PP.

Passage par le milieu de [AB][AB].

Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées (−1−52 ;−3−52 ;2+62)=(−3 ;−4 ;4)\left(\dfrac{-1-5}{2}\,;\dfrac{-3-5}{2}\,;\dfrac{2+6}{2}\right)=(-3\,;-4\,;4).

On a 2×(−3)+(−4)−2×4+18=−6−4−8+18=02\times(-3)+(-4)-2\times4+18=-6-4-8+18=0 : les coordonnées de II vérifient l'équation de PP, donc I∈PI\in P.

Donc PP est le plan passant par II et orthogonal à (AB)(AB), c'est-à-dire le plan médiateur de [AB][AB].

Donc l'affirmation 5 est vraie.

Points clés attendus

  • Affirmation 1 : poser uu et v′v' avec soin, vérifier le caractère C1\mathcal{C}^1, calculer le crochet avec ln⁡(e)=1\ln(\mathrm{e})=1 et ln⁡(1)=0\ln(1)=0.

  • Affirmation 2 : écrire les coefficients binomiaux avec les factorielles et utiliser k!=k×(k−1)!k!=k\times(k-1)! et n!=n×(n−1)!n!=n\times(n-1)!.

  • Affirmation 3 : exhiber la valeur du paramètre t=−2t=-2 et vérifier les trois coordonnées.

  • Affirmation 4 : justifier d'abord la non-colinéarité des vecteurs directeurs, puis montrer que le système n'a pas de solution (une affirmation « sécantes » exige un point commun).

  • Affirmation 5 : vérifier les deux conditions (vecteur normal colinéaire à AB→\overrightarrow{AB}, milieu dans le plan).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

  • Exercice 1 · 5 points · Sommes de variables aléatoires et concentration · Succession d'épreuves et loi binomiale
  • Exercice 2 · 5 points · Primitives et équations différentielles · Dérivation et convexité
  • Exercice 3 · 5 points · Fonction logarithme · Suites

Revoir le cours

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Polynésie, 2 septembre 2025), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte