Bac 2025, Polynésie : exercice 1

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

• $P(A)=0{,}16$, donc $P(\overline{A})=1-0{,}16=0{,}84$

• $P_A(R)=0{,}747$, donc $P_A(\overline{R})=1-0{,}747=0{,}253$

• $P_{\overline{A}}(R)=0{,}568$, donc $P_{\overline{A}}(\overline{R})=1-0{,}568=0{,}432$.

L'arbre comporte deux branches initiales : $A$ de probabilité $0{,}16$ et $\overline{A}$ de probabilité $0{,}84$. De chacune partent deux branches : $R$ et $\overline{R}$, pondérées respectivement par $0{,}747$ et $0{,}253$ après $A$, et par $0{,}568$ et $0{,}432$ après $\overline{A}$.

Question 2. a)

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

Donc

Donc $P(R)=0{,}59664$.

Question 2. b)

On a $P(R)\approx 0{,}597$, soit $59{,}7\,\%$.

Interprétation : parmi les jeunes qui ont passé l'examen de conduite, environ $59{,}7\,\%$ l'ont obtenu dès leur première tentative.

Question 3.

On cherche la probabilité de $A$ sachant $R$, c'est-à-dire $P_R(A)$.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(R)\neq 0$) :

On a $P(A\cap R)=0{,}16\times 0{,}747=0{,}11952$, donc

Donc la probabilité qu'un jeune ayant eu son permis dès la première tentative ait suivi la formation de conduite accompagnée est d'environ $0{,}200$ (arrondie au millième).

Réponse : $P_R(A)\approx 0{,}200$.

Question 4.

On note $a$ la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée, avec $a\in[0\,;1]$. La proportion de jeunes suivant la formation classique est alors $1-a$.

D'après la formule des probabilités totales, le taux de réussite global dès la première tentative est

On veut que ce taux dépasse $0{,}7$ :

On a $\dfrac{132}{179}\approx 0{,}7374$.

Donc, pour que le taux de réussite global dépasse $70\,\%$, il faudrait que la proportion de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée soit strictement supérieure à $\dfrac{132}{179}$, soit environ $73{,}74\,\%$.

Réponse : $a>\dfrac{132}{179}\approx 0{,}7374$.

Partie B

Question 1.

On considère une épreuve de Bernoulli : le passage de l'examen par un candidat ayant suivi la conduite accompagnée. Le succès « avoir le permis dès la première tentative » a pour probabilité $p=0{,}747$.

L'énoncé précise que les passages de l'examen sont modélisés par des épreuves aléatoires indépendantes, et les 10 candidats sont dans la même situation (même probabilité de succès).

La variable $X$ compte le nombre de succès lors de la répétition de $n=10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $p=0{,}747$.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}747$.

Question 2.

On a

À la calculatrice, avec la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}747$, on obtient $P(X\leqslant 5)\approx 0{,}082$, donc

Interprétation : la probabilité qu'au moins 6 des 10 candidats de l'auto-école aient leur permis dès la première tentative est d'environ $0{,}918$.

Réponse : $P(X\geqslant 6)\approx 0{,}918$.

Question 3.

$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}747$. Donc

Donc $E(X)=7{,}47$ et $V(X)=1{,}88991$.

Question 4. a)

Le nombre total de candidats qui obtiennent le permis dès la première tentative est la somme du nombre de réussites parmi les 10 candidats de la conduite accompagnée et du nombre de réussites parmi les 40 autres :

Par linéarité de l'espérance :

Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc la variance de la somme est la somme des variances :

Donc $Z=X+Y$, $E(Z)=30$ et $V(Z)=11{,}69991$.

Question 4. b)

L'évènement « il y a moins de 20 ou plus de 40 candidats qui ont leur permis dès la première tentative » correspond à $Z\leqslant 20$ ou $Z\geqslant 40$. Dans les deux cas, on a $|Z-30|\geqslant 10$.

Cet évènement est donc inclus dans l'évènement $\{|Z-E(Z)|\geqslant 10\}$, car $E(Z)=30$.

La variable $Z$ admet une espérance et une variance. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel $\delta>0$ :

Avec $\delta=10$ :

Donc la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à $0{,}12$.

Points clés attendus

• Traduire les données en $P(A)$, $P_A(R)$, $P_{\overline{A}}(R)$ et citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A,\overline{A}\}$.

• Distinguer $P(R\cap A)$, $P_A(R)$ et $P_R(A)$ pour la probabilité conditionnelle de la question 3.

• Justifier la loi binomiale : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $n$ et $p$.

• Pour $Z=X+Y$, utiliser l'indépendance pour additionner les variances.

• Pour Bienaymé-Tchebychev, écrire l'inclusion d'évènements avec $\delta=10$ et citer l'inégalité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.