Bac 2025, Polynésie : exercice 3

Partie A : Exploitation de programmes Python

Question 1.

La fonction suite(k) doit renvoyer la liste des $k$ premières valeurs $u_0, u_1, \dots, u_{k-1}$.

La boucle doit donc être exécutée $k$ fois : on écrit range(k).

À chaque passage dans la boucle, on ajoute le terme courant $u_n$ à la liste, puis on le remplace par $u_{n+1}=2+\ln\left(u_n^2-3\right)$ : on écrit u = 2 + log(u**2 - 3).

Enfin, la fonction renvoie la liste L.

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(k):
        L.append(u)
        u = 2 + log(u**2 - 3)
    return(L)

Donc les trois pointillés sont à remplacer par k, par 2 + log(u**2 - 3) et par L.

Réponse : range(k)   u = 2 + log(u**2 - 3)   return(L).

Question 2.

Les valeurs affichées sont, dans l'ordre : $5$   $5{,}0910\ldots$   $5{,}1319\ldots$   $5{,}1500\ldots$   $5{,}1579\ldots$   $5{,}1614\ldots$   $5{,}1629\ldots$   $5{,}1636\ldots$   $5{,}1639\ldots$

Chacune est strictement supérieure à la précédente : on conjecture que la suite $(u_n)$ est croissante.

Les écarts entre deux termes consécutifs deviennent de plus en plus petits et les termes semblent se stabiliser autour de $5{,}16$ : on conjecture que la suite $(u_n)$ converge.

Donc on conjecture que $(u_n)$ est croissante et qu'elle converge vers une limite proche de $5{,}16$.

Question 3.

La fonction mystere(n) construit la liste L des $n$ premiers termes $u_0, \dots, u_{n-1}$, puis initialise c à $1$.

La boucle for i in range(n - 1) compare L[i] et L[i + 1], c'est-à-dire $u_i$ et $u_{i+1}$, pour $i$ allant de $0$ à $n-2$.

Dès qu'une comparaison vérifie $u_i>u_{i+1}$, la variable c prend la valeur $0$   elle ne revient jamais à $1$.

Donc mystere(n) renvoie $1$ si et seulement si $u_i\leqslant u_{i+1}$ pour tout $i$ de $0$ à $n-2$.

L'affichage $1$ pour mystere(10000) signifie que les $10000$ premiers termes de la suite sont rangés dans l'ordre croissant.

Cet affichage ne contredit donc pas la conjecture de croissance : il la conforte.

Il ne la démontre pas, car il ne porte que sur un nombre fini de termes de la suite.

Donc l'affichage ne contredit pas la conjecture émise sur le sens de variation de $(u_n)$.

Partie B : Étude de la convergence de la suite $(u_n)$

Question 1.

Pour tout $x\geqslant2$, on a $x^2\geqslant4$, donc $x^2-3\geqslant1>0$ : la fonction $g$ est bien définie sur $[2\,;+\infty[$.

La fonction $g$ est de la forme $2+\ln(w)$ avec $w(x)=x^2-3$, fonction dérivable et strictement positive sur $[2\,;+\infty[$.

D'après la formule de dérivation d'une composée, $(\ln w)'=\dfrac{w'}{w}$, donc pour tout $x\geqslant2$ :

Le numérateur $2x$ est strictement positif car $x\geqslant2>0$.

Le dénominateur $x^2-3$ est strictement positif d'après ce qui précède.

Donc $g'(x)>0$ pour tout $x\in[2\,;+\infty[$.

Donc la fonction $g$ est strictement croissante, en particulier croissante, sur $[2\,;+\infty[$.

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant6$.

Initialisation.

On a $u_0=5$ et $u_1=2+\ln\left(5^2-3\right)=2+\ln(22)$.

Or $\ln(22)\approx3{,}09$, donc $u_1\approx5{,}09$.

On a bien $4\leqslant5\leqslant5{,}09\leqslant6$, c'est-à-dire $4\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant6$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $4\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant6$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $4\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant6$.

Les réels $4$, $u_k$, $u_{k+1}$ et $6$ appartiennent à l'intervalle $[2\,;+\infty[$, sur lequel la fonction $g$ est croissante d'après la question 1 de la partie B.

On applique $g$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $g(u_k)=u_{k+1}$ et $g(u_{k+1})=u_{k+2}$, donc

On calcule $g(4)=2+\ln\left(4^2-3\right)=2+\ln(13)\approx4{,}56$, donc $g(4)\geqslant4$.

On calcule $g(6)=2+\ln\left(6^2-3\right)=2+\ln(33)\approx5{,}50$, donc $g(6)\leqslant6$.

On en déduit $4\leqslant g(4)\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant g(6)\leqslant6$, c'est-à-dire $4\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant6$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

La propriété $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ :

Question 2. b)

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leqslant6$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $6$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente, ce qui confirme les conjectures de la partie A.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

Question 1. a)

On utilise le tableau de variations de $f$ donné par l'énoncé : $f$ est croissante sur $[2\,;3]$, de $f(2)=0$ à $f(3)=\ln(6)-1$, puis décroissante sur $[3\,;+\infty[$, de $\ln(6)-1$ à $-\infty$.

On a $\ln(6)>1$ car $6>\mathrm{e}$, donc $f(3)=\ln(6)-1>0$.

Sur l'intervalle $[2\,;3]$.

On a $f(2)=2+\ln(1)-2=0$, donc $2$ est solution de l'équation $f(x)=0$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2\,;3]$ et $f(2)=0$, donc $f(x)>0$ pour tout $x\in\,]2\,;3]$.

Donc $2$ est la seule solution de l'équation sur $[2\,;3]$.

Sur l'intervalle $[3\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[3\,;+\infty[$.

Elle réalise donc une bijection de $[3\,;+\infty[$ sur $\left]-\infty\,;\ln(6)-1\right]$.

Comme $0\in\left]-\infty\,;\ln(6)-1\right]$ (car $\ln(6)-1>0$), d'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans $[3\,;+\infty[$.

De plus $f(3)>0$, donc $\beta\neq3$ et $\beta>3$.

Conclusion.

L'équation $f(x)=0$ admet donc exactement deux solutions sur $[2\,;+\infty[$ : $\alpha=2$ et $\beta>3$, avec $\alpha<\beta$.

Question 1. b)

D'après la question précédente, la valeur exacte de $\alpha$ est $\alpha=2$.

À la calculatrice (par balayage ou par résolution numérique), on obtient $f(5{,}163)\approx0{,}0006>0$ et $f(5{,}165)\approx-0{,}0005<0$.

Comme $f$ est décroissante sur $[3\,;+\infty[$, on en déduit $5{,}163<\beta<5{,}165$, et un calcul plus fin donne $\beta\approx5{,}1641$.

Donc $\beta\approx5{,}164$ à $10^{-3}$ près.

Réponse : $\alpha=2$   $\beta\approx5{,}164$.

Question 2.

La fonction $g$ est continue sur $[2\,;+\infty[$ car elle est dérivable sur cet intervalle.

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ et, pour tout $n$, $u_n\in[4\,;6]\subset[2\,;+\infty[$, donc $\ell\in[4\,;6]$ et $\ell$ appartient au domaine de continuité de $g$.

Par continuité de $g$ en $\ell$, la suite $\left(g(u_n)\right)$ converge vers $g(\ell)$.

Or $g(u_n)=u_{n+1}$, et la suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$.

Par unicité de la limite, $\ell=g(\ell)$, c'est-à-dire $g(\ell)-\ell=0$.

Donc $f(\ell)=2+\ln\left(\ell^2-3\right)-\ell=g(\ell)-\ell=0$.

Donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=0$ sur $[2\,;+\infty[$, d'où $\ell\in\{\alpha\,;\beta\}=\{2\,;\beta\}$.

La suite $(u_n)$ est croissante et $u_0=5$, donc $u_n\geqslant5$ pour tout $n$, et par passage à la limite dans les inégalités larges, $\ell\geqslant5$.

Donc $\ell\neq2$.

Donc $\ell=\beta\approx5{,}164$.

Réponse : $f(\ell)=0$ et $\ell=\beta\approx5{,}164$.

Points clés attendus

• Écrire la boucle avec range(k), la relation de récurrence en Python et return(L), et préciser que mystere teste la croissance sur un nombre fini de termes seulement (conjecture renforcée, non démontrée).

• Dériver $g$ par la formule de la composée et justifier le signe de $g'$ (numérateur et dénominateur strictement positifs).

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec la croissance de $g$ appliquée aux trois inégalités, comparaison de $g(4)$ et $g(6)$ à $4$ et $6$, conclusion.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée).

• Traiter séparément $[2\,;3]$ et $[3\,;+\infty[$ pour dénombrer les solutions de $f(x)=0$, en citant le théorème de la bijection.

• Justifier $\ell=g(\ell)$ par la continuité de $g$, puis éliminer $\alpha=2$ car la suite est croissante avec $u_0=5$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.