Bac 2025, Polynésie : exercice 2

Partie A. Modèle 1

Question 1.

L'équation $(E_1)$ s'écrit $y'=0{,}05\,y-0{,}5$. C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme $y'=ay+b$ avec $a=0{,}05$ et $b=-0{,}5$.

Les solutions de l'équation homogène $y'=0{,}05\,y$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{0{,}05x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

On cherche une solution particulière constante $y_p$. Alors $y_p'=0$, donc $0=0{,}05\,y_p-0{,}5$, soit $y_p=\dfrac{0{,}5}{0{,}05}=10$.

Donc les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions

La condition initiale $y(0)=50$ donne $C+10=50$, soit $C=40$.

Donc la solution de $(E_1)$ vérifiant $y(0)=50$ est

Réponse : $y(x)=40\,\mathrm{e}^{0{,}05x}+10$.

Question 2.

On évalue la solution aux instants correspondant aux années du tableau ($x$ est le nombre d'années écoulées depuis 2000) :

• année 2005 ($x=5$) : $40\,\mathrm{e}^{0{,}25}+10\approx 61$, contre $64$ individus observés

• année 2010 ($x=10$) : $40\,\mathrm{e}^{0{,}5}+10\approx 76$, contre $80$ individus observés

• année 2015 ($x=15$) : $40\,\mathrm{e}^{0{,}75}+10\approx 95$, contre $100$ individus observés.

Les valeurs du modèle 1 sont arrondies à l'unité.

Donc le modèle 1 sous-estime les effectifs observés, et l'écart (3, 4 puis 5 individus) augmente avec le temps.

Partie B. Modèle 2

Question 1.

On a

Pour la relation différentielle, on pose, pour $x\in\mathbb{R}$, $u=15\mathrm{e}^{-0{,}05x}$. Alors $u>0$ et $f(x)=\dfrac{800}{1+u}$.

Comme $0{,}00125\times 800=1$, on a $0{,}00125\,f(x)=\dfrac{1}{1+u}$, donc

On en déduit

D'après le résultat du logiciel (ligne 2), cette expression est $f'(x)$.

Donc $f(0)=50$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)=0{,}05\,f(x)\left(1-0{,}00125\,f(x)\right)$.

Question 2.

L'année 2050 correspond à $x=50$. On calcule

Donc, d'après ce modèle, l'effectif de la population en 2050 est d'environ $359$ individus (arrondi à l'unité).

Réponse : environ $359$ individus.

Question 3.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}-0{,}05x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$. Donc, par composée, $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-0{,}05x}=0$.

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+15\mathrm{e}^{-0{,}05x}\right)=1$, et par quotient

Donc la courbe $C$ admet la droite d'équation $y=800$ pour asymptote horizontale en $+\infty$.

Interprétation : selon ce modèle, l'effectif de la population se rapproche de $800$ individus à long terme, sans jamais le dépasser, ce qui correspond à une capacité d'accueil maximale de la réserve de $800$ individus.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=800$.

Question 4.

D'après le résultat du logiciel, pour tout $x\geqslant 0$,

Le numérateur est strictement positif car $\mathrm{e}^{-0{,}05x}>0$. Le dénominateur est un carré de nombre strictement positif, donc strictement positif.

Donc $f'(x)>0$ pour tout $x\geqslant 0$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante, donc croissante, sur $[0\,;+\infty[$.

Question 5.

Soit $x\in\mathbb{R}$. On a

car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc conserve le sens des inégalités.

En divisant par $-0{,}05<0$, on change le sens de l'inégalité :

Donc $15\,\mathrm{e}^{-0{,}05x}-1\geqslant 0\iff x\leqslant 20\ln 15$, ce qui est le résultat de la ligne 4.

Question 6. a)

La fonction $f$ est deux fois dérivable et, d'après la ligne 3,

Le facteur $\dfrac{30\,\mathrm{e}^{-0{,}05x}}{\left(1+15\mathrm{e}^{-0{,}05x}\right)^3}$ est strictement positif. Donc $f''(x)$ a le signe de $15\,\mathrm{e}^{-0{,}05x}-1$.

D'après la question 5 :

• $f''(x)\geqslant 0$ pour $x\in[0\,;20\ln 15]$, donc $f$ est convexe sur $[0\,;20\ln 15]$

• $f''(x)\leqslant 0$ pour $x\in[20\ln 15\,;+\infty[$, donc $f$ est concave sur $[20\ln 15\,;+\infty[$.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $x_0=20\ln 15$ : la courbe $C$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $x_0$.

Pour $x_0=20\ln 15$, on a $\mathrm{e}^{-0{,}05x_0}=\mathrm{e}^{-\ln 15}=\dfrac{1}{15}$, donc

Donc $f$ est convexe sur $[0\,;20\ln 15]$, concave sur $[20\ln 15\,;+\infty[$, et la courbe $C$ admet un unique point d'inflexion de coordonnées $\left(20\ln 15\,;400\right)$, avec $20\ln 15\approx 54{,}2$.

Question 6. b)

La vitesse de croissance de la population est modélisée par $f'$. Les variations de $f'$ se lisent sur le signe de $f''$.

• Sur $[0\,;20\ln 15]$, $f''\geqslant 0$ : $f'$ est croissante, la vitesse de croissance augmente.

• Sur $[20\ln 15\,;+\infty[$, $f''\leqslant 0$ : $f'$ est décroissante, la vitesse de croissance diminue.

Comme $20\ln 15\approx 54{,}2$, la vitesse de croissance augmente pendant environ $54$ ans, soit un peu plus de cinquante ans, puis diminue.

Donc la direction a raison.

Points clés attendus

• Résoudre l'équation $y'=ay+b$ avec solution homogène, solution particulière constante, puis condition initiale.

• Comparer chaque année du tableau (valeur du modèle arrondie et valeur observée) et conclure sur le sens de l'écart.

• Vérifier la relation différentielle en simplifiant $1-0{,}00125\,f(x)$.

• Justifier la limite par composée et interpréter la valeur $800$ en contexte.

• Relier convexité, signe de $f''$ et variations de $f'$, et confronter $20\ln 15\approx 54{,}2$ à l'affirmation de la direction.

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