Bac 2025, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1.

Le trinôme $-x^2+7x+8$ a pour discriminant

Il admet deux racines réelles :

Donc $-x^2+7x+8=-(x+1)(x-8)$.

Le coefficient de $x^2$ est $-1<0$ : le trinôme est positif ou nul entre ses racines.

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $-x^2+7x+8\geqslant 0$ est l'intervalle $[-1\,;8]$.

Question 2.

Soit $x\in\,]0\,;8]$. Alors $x\in[-1\,;8]$, donc d'après la question 1 :

On ajoute $1$ à chaque membre :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et $-x^2+7x+9\geqslant 1>0$. On peut donc composer par $\ln$ en conservant le sens de l'inégalité :

Comme $10>0$ et $x>0$, on obtient

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;8]$, $f(x)\geqslant 0$.

Question 3.

Donc la courbe $C_f$ est située au-dessus de l'axe des abscisses (elle peut le toucher) pour tout $x\in\,]0\,;8]$.

Partie B

Question 1.

Le point $M$ a pour coordonnées $\left(x\,;f(x)\right)$.

Le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des abscisses a même abscisse que $M$ et pour ordonnée $0$. Le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées a pour abscisse $0$ et même ordonnée que $M$.

Donc $N(x\,;0)$ et $P\left(0\,;f(x)\right)$.

Question 2.

Le quadrilatère $ONMP$ est un rectangle, de côtés $ON$ et $OP$ :

Donc, pour tout $x\in\,]0\,;8]$ :

Question 3.

Dérivabilité. Pour tout $x\in\,]0\,;8]$, $-x^2+7x+9\geqslant 1>0$ (question 2 de la partie A). La fonction $x\mapsto -x^2+7x+9$ est dérivable et strictement positive sur $]0\,;8]$, donc $\mathcal{A}$, composée avec $\ln$, est dérivable sur $]0\,;8]$.

Dérivée. On utilise la formule $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=-x^2+7x+9$ et $u'(x)=-2x+7$ :

Signe. Le dénominateur $-x^2+7x+9$ est strictement positif sur $]0\,;8]$. Donc $\mathcal{A}'(x)$ a le signe de $-2x+7$.

On a $-2x+7>0\iff x<3{,}5$, et $-2x+7=0\iff x=3{,}5$.

Variations. La fonction $\mathcal{A}$ est strictement croissante sur $]0\,;3{,}5]$ et strictement décroissante sur $[3{,}5\,;8]$. Elle admet donc un maximum en $x=3{,}5$.

Valeur du maximum. On a $-3{,}5^2+7\times 3{,}5+9=-12{,}25+24{,}5+9=21{,}25=\dfrac{85}{4}$, donc

Le point $M$ correspondant a pour abscisse $3{,}5$ et pour ordonnée

Réponse : oui, l'aire est maximale pour $M\left(3{,}5\,;\dfrac{20}{7}\ln\dfrac{85}{4}\right)$, et ce maximum vaut $10\ln\dfrac{85}{4}\approx 30{,}56$.

Donc il existe une unique position de $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $ONMP$ est maximale : celle du point d'abscisse $3{,}5$.

Partie C

Question 1.

La fonction $\mathcal{A}$ est décroissante sur $[3{,}5\,;8]$. On part de $x=3{,}5$ et on avance par pas de $0{,}1$ tant que l'aire est strictement supérieure à $k$. Dès que $\mathcal{A}(x)\leqslant k$, la boucle s'arrête et on renvoie la valeur de $x$.

Le programme complété est :

from math import *

def A(x) :
    return 10*log(-1*x**2 + 7*x + 9)

def pluspetitevaleur(k) :
    x = 3.5
    while A(x) > k :
        x = x + 0.1
    return x

Réponse : ligne 8 : A(x) > k   ligne 10 : x.

Question 2.

Pour $k=30$, on cherche le premier $x$ de la forme $3{,}5+0{,}1\,m$ tel que $\mathcal{A}(x)\leqslant 30$.

On calcule :

Comme $\mathcal{A}$ est décroissante sur $[3{,}5\,;8]$, on a $\mathcal{A}(x)>30$ pour tout $x$ de la forme $3{,}5+0{,}1\,m$ avec $x\leqslant 4{,}5$, et la boucle s'arrête à $x=4{,}6$.

Réponse : pluspetitevaleur(30) renvoie $4{,}6$.

Donc la valeur renvoyée est $4{,}6$ (Python affiche en pratique $4.599999999999998$, à cause des erreurs d'arrondi sur les nombres flottants).

Question 3.

Pour $k=35$, la condition de la boucle est $\mathcal{A}(x)>35$.

D'après la question 3 de la partie B, le maximum de $\mathcal{A}$ sur $]0\,;8]$ vaut environ $30{,}56$. Donc, pour tout $x\in[3{,}5\,;8]$, $\mathcal{A}(x)\leqslant 30{,}56<35$.

Donc la condition $\mathcal{A}(x)>35$ est fausse dès le départ pour $x=3{,}5$, et la boucle ne s'exécute jamais.

Donc la fonction renvoie directement $3{,}5$, la borne inférieure de l'intervalle : l'aire est déjà inférieure ou égale à $35$ pour $x=3{,}5$, et c'est même vrai pour tout $x$ de l'intervalle.

Points clés attendus

• Résoudre l'inéquation du second degré par les racines et le signe du coefficient dominant, puis en déduire $f(x)\geqslant 0$ grâce à la croissance de $\ln$.

• Montrer que $\mathcal{A}(x)=x\,f(x)$, en justifiant que $ON=x$ et $OP=f(x)$ sont des longueurs positives.

• Étudier le signe de $\mathcal{A}'$ en justifiant que le dénominateur est strictement positif, puis donner la position et la valeur du maximum.

• Compléter l'algorithme : condition A(x) > k et renvoi de x.

• Pour $k=35$, relier le comportement de la boucle au maximum de $\mathcal{A}$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.