Bac 2025, Métropole : exercice 4

Partie A

Les réponses sont des lectures graphiques, donc des valeurs approchées.

Question 1.

On cherche l'abscisse $t$ du point de $\mathcal{C}_d$ d'ordonnée $15$. La courbe passe par ce point pour $t\approx 2$.

Le chariot a donc parcouru $15$ m dans la zone de freinage au bout d'environ $2$ secondes.

Question 2.

La courbe $\mathcal{C}_d$ admet pour asymptote en $+\infty$ la droite horizontale $\Delta$ d'équation $y\approx 22{,}8$. La distance parcourue $d(t)$ se rapproche de cette valeur sans la dépasser.

La zone de freinage doit donc mesurer au minimum environ $22{,}8$ m.

Question 3.

Le nombre $d'(4{,}7)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_d$ au point d'abscisse $4{,}7$.

La droite $T$ passe par les points de coordonnées $(0\,;16{,}4)$ et $(8\,;24{,}3)$, donc

Interprétation : $d'$ est la vitesse instantanée du chariot. À l'instant $t=4{,}7$ s, la vitesse du chariot est d'environ $1$ m.s$^{-1}$.

Partie B

Question 1. a)

L'équation $(E')$ s'écrit $y'=-0{,}6y$. Elle est de la forme $y'=ay$ avec $a=-0{,}6$.

Ses solutions sur $[0\,;+\infty[$ sont les fonctions

Question 1. b)

La fonction $g(t)=t\mathrm{e}^{-0{,}6t}$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables. Avec la formule $(uw)'=u'w+uw'$ pour $u(t)=t$ et $w(t)=\mathrm{e}^{-0{,}6t}$ :

Donc, pour tout $t\geqslant 0$ :

La fonction $g$ est donc solution de $(E)$.

Question 1. c)

Les solutions de $(E)$ s'obtiennent en ajoutant une solution particulière de $(E)$ aux solutions de l'équation homogène $(E')$. Avec la solution particulière $g$ :

Question 1. d)

La fonction $v$ est solution de $(E)$, donc il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t\geqslant 0$, $v(t)=(t+C)\mathrm{e}^{-0{,}6t}$.

On a $v(0)=12$, et $v(0)=(0+C)\mathrm{e}^{0}=C$, donc $C=12$.

Donc, pour tout $t\in[0\,;+\infty[$ :

Question 2. a)

La fonction $v$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $u(t)=12+t$ et $w(t)=\mathrm{e}^{-0{,}6t}$ :

Question 2. b)

On utilise l'écriture admise

Premier terme : $\lim\limits_{t\to+\infty}(-0{,}6t)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, donc, par composition, $\lim\limits_{t\to+\infty}12\mathrm{e}^{-0{,}6t}=0$.

Second terme : on pose $X=0{,}6t$. Lorsque $t\to+\infty$, $X\to+\infty$ et

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^X}=0$.

Par somme et produit par une constante :

Réponse : $\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=0$.

Question 2. c)

Pour tout $t\geqslant 0$ :

• $\mathrm{e}^{-0{,}6t}>0$ (une exponentielle est strictement positive)

• $-6{,}2-0{,}6t\leqslant-6{,}2<0$.

Donc $v'(t)<0$ pour tout $t\geqslant 0$ : la fonction $v$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$.

Tableau de variation : $v$ décroît strictement de $v(0)=12$ en $t=0$ vers sa limite $0$ en $+\infty$, sans jamais l'atteindre. Comme $v$ est strictement décroissante de $12$ vers $0$, on a $v(t)>0$ pour tout $t\geqslant 0$.

Question 2. d)

La fonction $v$ vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires dans sa version pour une fonction strictement monotone :

• $v$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (car dérivable)

• $v$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$

• $v(0)=12$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=0$, donc $v$ prend ses valeurs dans $]0\,;12]$.

Or $1\in\,]0\,;12]$. Donc l'équation $v(t)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;+\infty[$.

À la calculatrice :

Comme $v$ est strictement décroissante, $v(4{,}7)<v(\alpha)<v(4{,}6)$ donne $4{,}6<\alpha<4{,}7$. Plus précisément $\alpha\approx 4{,}6915$, donc $\alpha\approx 4{,}7$ au dixième.

Réponse : $\alpha\approx 4{,}7$.

Question 3.

Le système mécanique se déclenche dès que $v(t)\leqslant 1$.

La fonction $v$ est strictement décroissante et $v(\alpha)=1$, donc

Le système entre donc en action à l'instant $t=\alpha$, soit environ $4{,}7$ secondes après l'arrivée du chariot sur la zone de freinage.

Réponse : environ $4{,}7$ s.

Partie C

Question 1.

Pour tout $t\geqslant 0$, $d(t)=\displaystyle\int_0^t(12+x)\mathrm{e}^{-0{,}6x}\,\mathrm{d}x$.

On effectue une intégration par parties avec

Les fonctions $u$ et $w$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;t]$. On obtient

On calcule l'intégrale restante :

Donc

On a utilisé $20+\dfrac{25}{9}=\dfrac{180+25}{9}=\dfrac{205}{9}$.

La distance parcourue entre les instants $0$ et $t$ est bien donnée par $d(t)=\mathrm{e}^{-0{,}6t}\left(-\dfrac53t-\dfrac{205}{9}\right)+\dfrac{205}{9}$.

Question 2.

D'après la partie B, le dispositif se déclenche à l'instant $\alpha$, où $\alpha\approx 4{,}6915$ est l'unique solution de $v(t)=1$.

La distance parcourue dans la zone de freinage avant le déclenchement est $d(\alpha)$. À la calculatrice, avec la valeur exacte de $\alpha$ :

Selon ce modèle, le chariot parcourt environ $20{,}94$ m dans la zone de freinage avant le déclenchement du dispositif d'arrêt.

Réponse : $d(\alpha)\approx 20{,}94$ m (au centième).

Points clés attendus

• Partie A : lectures graphiques, avec $d'(4{,}7)$ interprété comme le coefficient directeur de la tangente, donc comme la vitesse.

• Résolution de $(E)$ : solutions de l'équation homogène, solution particulière vérifiée, puis constante déterminée par $v(0)=12$.

• Pour la limite : citer les croissances comparées après le changement de variable $X=0{,}6t$.

• Pour $\alpha$ : vérifier la continuité, la stricte monotonie et l'encadrement des valeurs avant de citer le théorème des valeurs intermédiaires.

• Intégration par parties : poser clairement $u$ et $w'$, calculer le crochet puis l'intégrale restante, et aboutir à la forme demandée.

• Pour la distance finale : utiliser la valeur de $\alpha$ la plus précise possible avant d'arrondir.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.