Bac 2025, Polynésie : exercice 3

Question 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée :

Supposons que ces vecteurs soient colinéaires. Comme $\overrightarrow{AC}\neq\vec{0}$, il existerait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$.

La troisième coordonnée donnerait $5=k\times 0=0$, ce qui est impossible.

Donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Donc les points A, B et C déterminent un plan.

Question 2.

Le repère est orthonormé : on peut utiliser l'expression du produit scalaire en coordonnées.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non nuls et orthogonaux.

Donc le triangle ABC est rectangle en A.

Question 3. a)

On calcule les produits scalaires de $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ avec les deux vecteurs de la question 1 :

Le vecteur $\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) (question 1) : il est donc orthogonal à tout vecteur de ce plan, c'est-à-dire qu'il est normal au plan (ABC).

La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec{u}$.

Donc la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).

Question 3. b)

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC). Donc le plan (ABC) admet une équation cartésienne de la forme

Le point A$(1\,;3\,;0)$ appartient au plan, donc $2\times 1-3+0+d=0$, soit $d=1$.

Vérification avec les deux autres points :

• B$(-1\,;4\,;5)$ : $2\times(-1)-4+5+1=-2-4+5+1=0$

• C$(0\,;1\,;0)$ : $2\times 0-1+0+1=0$.

Donc le plan (ABC) admet pour équation cartésienne $2x-y+z+1=0$.

Question 3. c)

La droite $\Delta$ passe par D$(-2\,;2\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.

Donc une représentation paramétrique de $\Delta$ est

Question 4.

Le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point d'intersection du plan (ABC) et de la droite passant par D et orthogonale à (ABC), c'est-à-dire la droite $\Delta$.

Il suffit donc de vérifier que H appartient à $\Delta$ et à (ABC).

H appartient à $\Delta$. Pour $t=\dfrac23$ :

On retrouve les coordonnées de H.

H appartient à (ABC).

Donc H est le point d'intersection de $\Delta$ et de (ABC) : H est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

Question 5. a)

On calcule

Le repère est orthonormé, donc

Donc $DH=\dfrac{2\sqrt6}{3}$.

Question 5. b)

On prend pour base le triangle ABC. D'après la question 2, il est rectangle en A, donc son aire est

On a $AB=\sqrt{(-2)^2+1^2+5^2}=\sqrt{30}$ et $AC=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt5$.

Donc

La hauteur du tétraèdre ABCD relative à la base ABC est la distance de D au plan (ABC), c'est-à-dire $DH$ puisque H est le projeté orthogonal de D sur (ABC) (question 4).

D'après la formule $V=\dfrac13\,\mathcal{B}\times h$ :

Donc le volume du tétraèdre ABCD est $\dfrac{10}{3}$ unités de volume.

Réponse : $V=\dfrac{10}{3}$.

Question 6.

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix}$ (coefficients de $k$).

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC). On calcule

Le vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur normal du plan : la droite $d$ est donc parallèle au plan (ABC), ou contenue dans ce plan.

Pour trancher, on teste un point de $d$. Le point E$(1\,;0\,;1)$, obtenu pour $k=0$, appartient à $d$, et

Donc E n'appartient pas au plan (ABC), et la droite $d$ n'est pas contenue dans ce plan.

Donc la droite $d$ et le plan (ABC) ne sont pas sécants : ils sont strictement parallèles.

Points clés attendus

• Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée et justifier la non-colinéarité (question 1).

• Montrer qu'un vecteur est normal en l'orthogonalisant à deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Vérifier que le point H appartient à la fois à la droite $\Delta$ et au plan pour conclure qu'il est le projeté orthogonal.

• Citer la formule du volume et identifier la hauteur comme la distance $DH$.

• Question 6 : le produit scalaire nul ne suffit pas, il faut exclure l'inclusion de $d$ dans le plan avec un point.

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