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Terminale Spé Maths / Chapitre 8 : Calcul intégral / Annales du bac

Bac 2025, Polynésie : exercice 4

18 juin 2025 · jour 2 · 5 points Vrai / Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Soient EE et FF les ensembles E={1  ;  2  ;  3  ;  4  ;  5  ;  6  ;  7}E = \{1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\;;\;6\;;\;7\} et

    F={0  ;  1  ;  2  ;  3  ;  4  ;  5  ;  6  ;  7  ;  8  ;  9}F = \{0\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\; 4\;;\;5\;;\;6\;;\;7\;;\;8\;;\;9\}.

    Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de EE que de combinaisons à 4 éléments de FF.

  1. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée ff, ainsi que le carré ABCD de côté 3.

    Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.

Figure de l'énoncé, exercice 4, Polynésie 18 juin 2025

  1. On considère l'intégrale JJ ci-dessous :

    J=∫12xln⁡(x) dx.J = \displaystyle\int_1^2 x \ln (x)\,\text{d}x.

    Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir: J=711J = \dfrac{7}{11}.

  2. Sur R\mathbb{R}, on considère l'équation différentielle

    (E):y′=2y−ex.(E) :\quad y' = 2y - \mathrm{e}^x.

    Affirmation n° 4 : La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ex+e2xf(x) = \mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{2x} est solution de l'équation différentielle (E)(E).

  3. Soit xx donné dans [0   1[. On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par:

    un=(x−1)en+cos⁡(n).u_n = (x - 1)\mathrm{e}^n + \cos (n).

    Affirmation n° 5 : La suite (un)(u_n) diverge vers −∞.-\infty.

Voir le corrigé

Affirmation 1. Fausse.

Un 3-uplet d'éléments distincts de EE est une liste ordonnée de 3 éléments deux à deux distincts. L'ensemble EE compte 7 éléments.

On a 7 choix pour le premier élément, puis 6 pour le deuxième, puis 5 pour le troisième. Donc le nombre de 3-uplets d'éléments distincts de EE est

7×6×5=210.7\times 6\times 5=210.

Le nombre de combinaisons à 4 éléments de FF (qui compte 10 éléments) est

(104)=10×9×8×74×3×2×1=504024=210.\binom{10}{4}=\dfrac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=\dfrac{5040}{24}=210.

Les deux nombres sont égaux.

Donc il n'y a pas davantage de 3-uplets d'éléments distincts de EE que de combinaisons à 4 éléments de FF : l'affirmation est fausse.

Affirmation 2. Vraie.

La zone hachurée est le domaine compris entre la courbe de ff, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x=0 et x=3x=3.

La fonction f:x↦x2f:x\mapsto x^2 est continue et positive sur [0 ;3][0\,;3]. Donc l'aire de la zone hachurée, en unités d'aire, est

∫03x2 dx=[x33]03=273−0=9.\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{27}{3}-0=9.

Le carré ABCD a pour côté 3 (de A(0 ;0)(0\,;0) à B(3 ;0)(3\,;0)), donc son aire est 32=93^2=9.

Donc la zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire : l'affirmation est vraie.

Affirmation 3. Fausse.

On effectue une intégration par parties. On pose, pour x∈[1 ;2]x\in[1\,;2] :

u(x)=ln⁡x,u′(x)=1x,v′(x)=x,v(x)=x22.u(x)=\ln x,\quad u'(x)=\dfrac1x,\qquad v'(x)=x,\quad v(x)=\dfrac{x^2}{2}.

Les fonctions uu et vv sont dérivables sur [1 ;2][1\,;2] et leurs dérivées sont continues. On a

∫12u(x) v′(x) dx=[u(x) v(x)]12−∫12u′(x) v(x) dx.\int_1^2 u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x=\Big[u(x)\,v(x)\Big]_1^2-\int_1^2 u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.

Donc

J=[x22ln⁡x]12−∫121x×x22 dx=(2ln⁡2−0)−∫12x2 dx=2ln⁡2−[x24]12=2ln⁡2−(1−14)=2ln⁡2−34.\begin{aligned} J&=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^2-\int_1^2\dfrac1x\times\dfrac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x\\ &=\left(2\ln 2-0\right)-\int_1^2\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x\\ &=2\ln 2-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^2\\ &=2\ln 2-\left(1-\dfrac14\right)\\ &=2\ln 2-\dfrac34. \end{aligned}

On calcule les valeurs approchées : 2ln⁡2−34≈0,636292\ln 2-\dfrac34\approx 0{,}63629 et 711≈0,63636\dfrac{7}{11}\approx 0{,}63636.

Plus précisément, J−711≈−0,00007≠0J-\dfrac{7}{11}\approx -0{,}00007\neq 0.

Donc J=2ln⁡2−34≠711J=2\ln 2-\dfrac34\neq\dfrac{7}{11} : l'affirmation est fausse.

Affirmation 4. Vraie.

La fonction f:x↦ex+e2xf:x\mapsto\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2x} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx,

f′(x)=ex+2e2x.f'(x)=\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{2x}.

D'autre part,

2f(x)−ex=2ex+2e2x−ex=ex+2e2x.\begin{aligned} 2f(x)-\mathrm{e}^x&=2\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^x\\ &=\mathrm{e}^x+2\mathrm{e}^{2x}. \end{aligned}

Donc, pour tout réel xx, f′(x)=2f(x)−exf'(x)=2f(x)-\mathrm{e}^x.

Donc ff est solution de l'équation différentielle (E)(E) : l'affirmation est vraie.

Affirmation 5. Vraie.

Soit x∈[0 ;1[x\in[0\,;1[. Alors x−1<0x-1<0.

On a lim⁡n→+∞en=+∞\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^n=+\infty, donc, par produit par le réel strictement négatif x−1x-1 :

lim⁡n→+∞(x−1)en=−∞.\lim\limits_{n\to+\infty}(x-1)\mathrm{e}^n=-\infty.

Pour tout entier naturel nn, −1⩽cos⁡(n)⩽1-1\leqslant\cos(n)\leqslant 1, donc cos⁡(n)⩽1\cos(n)\leqslant 1 et

un⩽(x−1)en+1.u_n\leqslant(x-1)\mathrm{e}^n+1.

Or lim⁡n→+∞((x−1)en+1)=−∞\lim\limits_{n\to+\infty}\left((x-1)\mathrm{e}^n+1\right)=-\infty.

D'après le théorème de comparaison (si un⩽wnu_n\leqslant w_n à partir d'un certain rang et lim⁡wn=−∞\lim w_n=-\infty, alors lim⁡un=−∞\lim u_n=-\infty) :

lim⁡n→+∞un=−∞.\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty.

Donc la suite (un)(u_n) diverge vers −∞-\infty : l'affirmation est vraie.

Points clés attendus

  • Affirmation 1 : distinguer les 3-uplets d'éléments distincts (ordre pris en compte) des combinaisons (ordre ignoré) et calculer les deux nombres.

  • Affirmation 2 : traduire l'aire sous la courbe par une intégrale (fonction continue et positive) et la comparer à 323^2.

  • Affirmation 3 : poser uu et v′v', vérifier leur caractère C1\mathcal{C}^1, et comparer au résultat proposé sans arrondir trop tôt.

  • Affirmation 4 : calculer f′f' et vérifier l'égalité pour tout réel xx.

  • Affirmation 5 : encadrer cos⁡(n)\cos(n) et citer le théorème de comparaison en précisant le signe de x−1x-1.

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Comment t'entraîner

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Les autres exercices de ce sujet

  • Exercice 1 · 5 points · Suites · Succession d'épreuves et loi binomiale
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Revoir le cours

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Polynésie, 18 juin 2025 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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