Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites / Annales du bac

Bac 2025, Polynésie : exercice 1

18 juin 2025 · jour 2 · 5 points Python

Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près.

Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs: 0 ou 1.

Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre.

Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 et devient 1).

La transmission est fidèle dans 90 % des cas, et donc contraire dans 10 % des cas.

Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1.

Partie A

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , on note :

$V_n$ l'évènement : og la $n$ -ième machine détient la valeur 1 fg
$\overline{V_n}$ l'évènement : og la $n$ -ième machine détient la valeur 0 fg.

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.
2. Démontrer que $P(V_3) = 0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1.
Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , on note $p_n = P(V_n)$ .

La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_1 = 1$ .
1. Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
  
  $p_{n+1} = 0,8p_n + 0,1.$
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ ,
  
  $p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5.$
3. Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Pour modéliser en langage Python la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction simulation qui prend en paramètre un entier naturel $n$ qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire.

On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction.

On rappelle que l'instruction rand() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle [0   1[.

1   def simulation(n): 
2      donnee = 1
3      liste = [donnee] 
4      for k in range(n):
5          if rand() <0.1
6             donnee = 1 - donnee
7          liste.append(donnee) 
9      return liste

Par exemple, simulation(3) peut renvoyer [1,  0,  0,  1].Cette liste traduit :

qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines
la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine
la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième
la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième.

Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus.
Calculer la probabilité que simulation(4) renvoie la liste [1, 1, 1, 1, 1] et la probabilité que simulation(6) renvoie la liste [1,  0, 1, 0, 0, 1, 1].

Voir le corrigé

Partie A

Question 1. a)

Chaque machine transmet la donnée de manière fidèle avec la probabilité $0{,}9$ et de manière contraire avec la probabilité $0{,}1$ .

La première machine reçoit toujours la valeur 1 : l'évènement $V_1$ est donc certain.

Les branches de l'arbre sont donc :

de $V_1$ vers $V_2$ : $P(V_2)=0{,}9$ (transmission fidèle)
de $V_1$ vers $\overline{V_2}$ : $P(\overline{V_2})=0{,}1$ (transmission contraire)
de $V_2$ vers $V_3$ : $P_{V_2}(V_3)=0{,}9$ (la machine 2 détient 1 et transmet fidèlement)
de $V_2$ vers $\overline{V_3}$ : $P_{V_2}(\overline{V_3})=0{,}1$
de $\overline{V_2}$ vers $V_3$ : $P_{\overline{V_2}}(V_3)=0{,}1$ (la machine 2 détient 0 et transmet de façon contraire)
de $\overline{V_2}$ vers $\overline{V_3}$ : $P_{\overline{V_2}}(\overline{V_3})=0{,}9$ .

Question 1. b)

Les évènements $V_2$ et $\overline{V_2}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

P(V_3)=P(V_2\cap V_3)+P(\overline{V_2}\cap V_3).

Donc

\begin{aligned} P(V_3)&=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)+P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)\\ &=0{,}9\times 0{,}9+0{,}1\times 0{,}1\\ &=0{,}81+0{,}01\\ &=0{,}82. \end{aligned}

Donc $P(V_3)=0{,}82$ .

Interprétation : la probabilité que la troisième machine détienne la valeur 1 est égale à $0{,}82$ . Autrement dit, dans $82\,\%$ des cas, la troisième machine détient la valeur 1.

Question 1. c)

On cherche la probabilité de $V_2$ sachant $V_3$ , c'est-à-dire $P_{V_3}(V_2)$ .

D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(V_3)\neq 0$ ) :

P_{V_3}(V_2)=\dfrac{P(V_2\cap V_3)}{P(V_3)}.

On a $P(V_2\cap V_3)=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)=0{,}9\times 0{,}9=0{,}81$ .

Donc

P_{V_3}(V_2)=\dfrac{0{,}81}{0{,}82}=\dfrac{81}{82}\approx 0{,}988.

Donc, sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1 est $\dfrac{81}{82}$ , soit environ $0{,}988$ (arrondie au millième).

Réponse : $P_{V_3}(V_2)=\dfrac{81}{82}\approx 0{,}988$ .

Question 2. a)

Soit $n\geqslant 1$ un entier. Les évènements $V_n$ et $\overline{V_n}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

p_{n+1}=P(V_{n+1})=P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1})+P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1}).

La machine $n$ transmet fidèlement avec la probabilité $0{,}9$ et de façon contraire avec la probabilité $0{,}1$ , donc $P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}9$ et $P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})=0{,}1$ .

De plus $P(\overline{V_n})=1-P(V_n)=1-p_n$ .

Donc

\begin{aligned} p_{n+1}&=0{,}9\,p_n+0{,}1\,(1-p_n)\\ &=0{,}9\,p_n+0{,}1-0{,}1\,p_n\\ &=0{,}8\,p_n+0{,}1. \end{aligned}

Donc, pour tout entier $n\geqslant 1$ , $p_{n+1}=0{,}8\,p_n+0{,}1$ .

Question 2. b)

On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $p_n=0{,}5\times 0{,}8^{n-1}+0{,}5$ .

Initialisation. Pour $n=1$ : $0{,}5\times 0{,}8^{0}+0{,}5=0{,}5+0{,}5=1$ , et $p_1=1$ .

Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

p_k=0{,}5\times 0{,}8^{k-1}+0{,}5

(hypothèse de récurrence). Montrons

\mathcal{P}(k+1)

D'après la question 2. a) puis l'hypothèse de récurrence :

\begin{aligned} p_{k+1}&=0{,}8\,p_k+0{,}1\\ &=0{,}8\left(0{,}5\times 0{,}8^{k-1}+0{,}5\right)+0{,}1\\ &=0{,}5\times 0{,}8^{k}+0{,}4+0{,}1\\ &=0{,}5\times 0{,}8^{k}+0{,}5. \end{aligned}

Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant 1$ ,

p_n=0{,}5\times 0{,}8^{n-1}+0{,}5.

Question 2. c)

On a $-1<0{,}8<1$ .

Donc, d'après la limite d'une suite géométrique de raison $q$ avec $-1<q<1$ , $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^{n-1}=0$ .

Par produit et somme de limites :

\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0{,}5\times 0+0{,}5=0{,}5.

Interprétation : lorsque le nombre de machines devient grand, la probabilité que la machine $n$ détienne la valeur 1 tend vers $0{,}5$ . La valeur initiale n'a alors plus d'influence : les valeurs 0 et 1 deviennent équiprobables.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0{,}5$ .

Partie B

Question 1.

La fonction rand() renvoie un nombre aléatoire de $[0\,;1[$ . La ligne 5 teste si ce nombre est strictement inférieur à $0{,}1$ . Cet évènement a pour probabilité $0{,}1$ : il modélise une transmission contraire.

Lorsque le test est vrai, la ligne 6 remplace donnee par 1 - donnee : $1$ devient $0$ et $0$ devient $1$ . C'est bien le changement de valeur d'une transmission contraire.

Lorsque le test est faux (probabilité $0{,}9$ ), la donnée reste inchangée : c'est une transmission fidèle.

La ligne 7 ajoute à la liste la valeur détenue par la machine suivante. Chaque passage dans la boucle simule donc une transmission d'une machine à la suivante.

Donc les lignes 5 et 6 simulent, à chaque transmission, un changement de valeur avec la probabilité $0{,}1$ (transmission contraire) et aucun changement avec la probabilité $0{,}9$ (transmission fidèle).

Question 2.

La liste $[1{,}1,1{,}1,1]$ est renvoyée par simulation(4) si et seulement si les 4 transmissions sont fidèles.

Les transmissions sont indépendantes et chacune est fidèle avec la probabilité $0{,}9$ . Donc la probabilité cherchée est

0{,}9^4=0{,}6561\approx 0{,}656.

Pour la liste $[1{,}0,1{,}0,0{,}1,1]$ de simulation(6), on examine les 6 transmissions successives :

$1\to 0$ : contraire
$0\to 1$ : contraire
$1\to 0$ : contraire
$0\to 0$ : fidèle
$0\to 1$ : contraire
$1\to 1$ : fidèle.

Il y a donc 4 transmissions contraires et 2 transmissions fidèles, indépendantes. La probabilité cherchée est

0{,}1^4\times 0{,}9^2=0{,}0001\times 0{,}81=0{,}000081\approx 0{,}000.

Donc simulation(4) renvoie $[1{,}1,1{,}1,1]$ avec la probabilité $0{,}9^4\approx 0{,}656$ , et simulation(6) renvoie $[1{,}0,1{,}0,0{,}1,1]$ avec la probabilité $0{,}1^4\times 0{,}9^2=0{,}000081$ , soit $0{,}000$ au millième près.

Réponse : $0{,}9^4=0{,}6561\approx 0{,}656$ et $0{,}1^4\times 0{,}9^2=0{,}000081\approx 0{,}000$ .

Points clés attendus

Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{V_n,\overline{V_n}\}$ et la définition de la probabilité conditionnelle.
Pour la récurrence : initialisation, hérédité avec hypothèse explicite, conclusion citant le principe de récurrence.
Justifier la limite par $-1<0{,}8<1$ et interpréter en contexte.
En Python, relier rand() < 0.1 à la probabilité $0{,}1$ d'une transmission contraire.
Pour la probabilité d'une liste, compter transmissions fidèles et contraires et invoquer l'indépendance.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 2 · 5 points · Dérivation et convexité · Fonction logarithme · Limites de fonctions
Exercice 3 · 5 points · Orthogonalité et distances dans l'espace · Vecteurs, droites et plans de l'espace
Exercice 4 · 5 points · Calcul intégral · Primitives et équations différentielles · Suites

Revoir le cours

Chapitre 1 : Suites : le cours · exercices type bac corrigés
Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Polynésie, 18 juin 2025 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte