Bac 2025, Centres étrangers : exercice 2

Partie A

Question 1.

On repère sur le graphique le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $10$.

Ce point a une ordonnée proche de $0{,}9$.

Le point B$(10\;;\;1)$ est situé sur la tangente (AB) et non sur la courbe : la courbe passe en dessous de B.

Donc $f(10) \approx 0{,}9$.

Réponse : $f(10) \approx 0{,}9$ (lecture graphique).

Question 2.

On a $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = 1$.

Donc, lorsque $t$ devient grand, la grandeur modélisée par $f(t)$ se rapproche de $1$.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $y = 1$ pour asymptote horizontale en $+\infty$.

Interprétation : à long terme, la grandeur modélisée se stabilise près de la valeur $1$, qui est sa valeur limite.

Question 3.

Le point A$(0\;;\;0{,}5)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$, donc $f(0) = 0{,}5$.

Par ailleurs

Donc

Deux nombres strictement positifs ont des inverses égaux s'ils sont égaux, donc $a + 1 = 2$.

Donc $a = 1$.

Réponse : $a = 1$.

Question 4.

Le coefficient directeur de la droite (AB), avec A$(0\;;\;0{,}5)$ et B$(10\;;\;1)$, est

Donc le coefficient directeur de la droite (AB) est $0{,}05$.

Réponse : $0{,}05$.

Question 5.

a) D'après la question 3, $a = 1$, donc

La fonction $f$ s'écrit $\dfrac{1}{w}$ avec $w(x) = 1 + \mathrm{e}^{-bx}$.

La fonction $w$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ et ne s'annule pas (on a $w(x) > 1$).

On dérive $w$ comme somme d'une constante et d'une composée :

La formule $\left(\dfrac{1}{w}\right)' = -\dfrac{w'}{w^2}$ donne alors

Réponse : $f'(x) = \dfrac{b\,\mathrm{e}^{-bx}}{\left(1 + \mathrm{e}^{-bx}\right)^2}$.

b) La droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $0$.

Le coefficient directeur de la tangente en A est $f'(0)$, donc $f'(0) = 0{,}05$ d'après la question 4.

On calcule

Donc

Donc $b = 0{,}2$.

Réponse : $b = 0{,}2$.

Partie B

Question 1.

On a $\lim\limits_{x \to +\infty} (-0{,}2x) = -\infty$.

Par limite d'une composée, avec $\lim\limits_{X \to -\infty} \mathrm{e}^{X} = 0$ :

Donc, par somme puis par quotient (le dénominateur tend vers $1 \neq 0$) :

Réponse : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ et, d'après la partie A avec $b = 0{,}2$, pour tout $x \geqslant 0$ :

Le numérateur $0{,}2\,\mathrm{e}^{-0{,}2x}$ est strictement positif, car la fonction exponentielle est strictement positive.

Le dénominateur $\left(1 + \mathrm{e}^{-0{,}2x}\right)^2$ est un carré de nombre strictement positif : il est strictement positif.

Donc $f'(x) > 0$ pour tout $x \geqslant 0$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$.

Elle part de $f(0) = 0{,}5$ et tend vers $1$ en $+\infty$ (question 1).

Question 3.

Vérifions les hypothèses du théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$, donc continue sur cet intervalle.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\;;\;+\infty[$ (question 2).

On a $f(0) = 0{,}5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$.

Donc $f$ réalise une bijection de $[0\;;\;+\infty[$ sur $[0{,}5\;;\;1[$.

Or $0{,}97 \in [0{,}5\;;\;1[$.

Donc l'équation $f(x) = 0{,}97$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\;;\;+\infty[$.

Donc il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0{,}97$.

Question 4.

L'énoncé écrit « $a$ » : il s'agit du réel $\alpha$ de la question précédente, la constante $a$ valant $1$.

On résout $f(\alpha) = 0{,}97$ :

À la calculatrice, $\alpha \approx 17{,}38$.

Donc $17 < \alpha < 18$.

Comme $f$ est strictement croissante, $f(t) > 0{,}97$ si et seulement si $t > \alpha$.

Interprétation : la valeur $0{,}97$ est atteinte pour $t \approx 17{,}4$, et $f(t)$ dépasse $0{,}97$ à partir de $t = 18$ (en valeurs entières).

Réponse : $17 < \alpha < 18$ (avec $\alpha = 5\ln\left(\dfrac{97}{3}\right) \approx 17{,}38$).

Partie C

Question 1.

Pour tout $x \geqslant 0$, le nombre $\mathrm{e}^{0{,}2x}$ est non nul.

On multiplie le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par $\mathrm{e}^{0{,}2x}$ :

Or $\mathrm{e}^{-0{,}2x} \times \mathrm{e}^{0{,}2x} = \mathrm{e}^{0} = 1$, donc le dénominateur vaut $\mathrm{e}^{0{,}2x} + 1$.

Donc, pour tout $x \in [0\;;\;+\infty[$ :

Question 2.

On pose $w(x) = 1 + \mathrm{e}^{0{,}2x}$.

La fonction $w$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$, strictement positive, et $w'(x) = 0{,}2\,\mathrm{e}^{0{,}2x}$.

D'après la question 1 :

Une primitive de $\dfrac{w'}{w}$ avec $w > 0$ est $\ln(w)$.

Donc une primitive de $f$ sur $[0\;;\;+\infty[$ est

Réponse : $F(x) = 5\ln\left(1 + \mathrm{e}^{0{,}2x}\right)$.

Question 3.

La fonction $f$ est continue sur $[0\;;\;40]$ et $F$ en est une primitive, donc

À la calculatrice, $I \approx 0{,}913$ (arrondi au millième).

Donc la valeur moyenne de $f$ sur $[0\;;\;40]$ est $\dfrac{1}{8}\ln\left(\dfrac{1 + \mathrm{e}^{8}}{2}\right) \approx 0{,}913$.

Réponse : $I = \dfrac{1}{8}\ln\left(\dfrac{1 + \mathrm{e}^{8}}{2}\right) \approx 0{,}913$.

Points clés attendus

• Lecture graphique de $f(10)$ : le point B est sur la tangente, pas sur la courbe.

• Déduire $a$ de $f(0) = 0{,}5$ et $b$ de $f'(0) = 0{,}05$ (coefficient directeur de la tangente en A).

• Dérivée de $\dfrac{1}{w}$ détaillée, signe de $f'$ justifié par la positivité de l'exponentielle.

• Théorème de la bijection : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes ($0{,}5$ et limite $1$), puis $0{,}97 \in [0{,}5\;;\;1[$.

• Primitive reconnue sous la forme $\dfrac{w'}{w}$ avec $w > 0$, puis valeur moyenne avec le facteur $\dfrac{1}{40}$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.