Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration / Annales du bac

Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 1

20 novembre 2025 · jour 1 · 5 points

On dispose d’un sac et de deux urnes A et B.

Le sac contient 4 boules : 1 boule avec la lettre A et 3 boules avec la lettre B.
L’urne A contient 5 billets : 3 billets de $50$ euros et 2 billets de $10$ euros.
L’urne B contient 4 billets : 1 billet de $50$ euros et 3 billets de $10$ euros.

Un joueur prend au hasard une boule dans le sac :

si c’est une boule avec la lettre A, il prend au hasard un billet dans l’urne A.
si c’est une boule avec la lettre B, il prend au hasard un billet dans l’urne B.

On note les évènements suivants :

$A$ : le joueur obtient une boule avec la lettre A.
$C$ : le joueur obtient un billet de $50$ euros.

Recopier et compléter l'arbre ci-contre représentant la situation.
Quelle est la probabilité de l'évènement « le joueur obtient une boule avec la lettre { A} et un billet de $50$ € ?
Démontrer que la probabilité $P(C)$ est égale à 0,3375.

Figure de l'énoncé, exercice 1, Nouvelle-Calédonie 20 novembre 2025

Le joueur a obtenu un billet de 10 euros.

L'affirmation « Il y a plus de $80\,\%$ de chances qu'il ait au préalable obtenu une boule avec la lettre B » est-elle vraie ? Justifier.
On note $X_1$ la variable aléatoire qui donne la somme, en euros, obtenue par le joueur.

Exemple : si le joueur obtient un billet de $50$ €, on a $X_1 = 50$ .

Montrer que l'espérance $E(X_1)$ est égale à $23,50$ et que la variance $V(X_1)$ est égale à $357,75$ .
Après avoir remis la boule dans le sac et le billet dans l'urne où il a été pris, le joueur joue une deuxième partie. On note $X_2$ la variable aléatoire qui donne la somme obtenue par le joueur lors de cette deuxième partie.

On note $Y$ la variable aléatoire ainsi définie : $Y = X_1 + X_2$ .
1. Montrer que $E(Y) = 47$ .
2. Expliquer pourquoi on a $V(Y) = V(X_1) + V(X_2)$ .
Le joueur joue d'eux-mêmes une troisième, une quatrième,…, une centième partie.

On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_3, \,X_4,\,\ldots, X_{100}$ .

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}$ .

Démontrer que la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $]1950\;;\;2750[$ est supérieure ou égale à $0,75$ .

Voir le corrigé

Dans cet exercice, l'évènement $\overline{A}$ est l'évènement « le joueur obtient une boule avec la lettre B ».

Question 1.

Le sac contient 4 boules dont 1 boule A et 3 boules B, et la boule est prise au hasard. Donc

P(A)=\dfrac14\qquad\text{et}\qquad P(\overline{A})=\dfrac34.

Si le joueur a obtenu la lettre A, il tire un billet dans l'urne A, qui contient 5 billets dont 3 de $50$ euros et 2 de $10$ euros. Donc

P_A(C)=\dfrac35\qquad\text{et}\qquad P_A(\overline{C})=\dfrac25.

Si le joueur a obtenu la lettre B, il tire un billet dans l'urne B, qui contient 4 billets dont 1 de $50$ euros et 3 de $10$ euros. Donc

P_{\overline{A}}(C)=\dfrac14\qquad\text{et}\qquad P_{\overline{A}}(\overline{C})=\dfrac34.

L'arbre se complète ainsi :

branche $A$ de poids $\dfrac14$ , puis branche $C$ de poids $\dfrac35$ et branche $\overline{C}$ de poids $\dfrac25$
branche $\overline{A}$ de poids $\dfrac34$ , puis branche $C$ de poids $\dfrac14$ et branche $\overline{C}$ de poids $\dfrac34$ .

Sur chaque paire de branches issues d'un même nœud, la somme des poids vaut $1$ .

Question 2.

On cherche $P(A\cap C)$ . D'après la formule des probabilités conditionnelles :

P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C).

On obtient

P(A\cap C)=\dfrac14\times\dfrac35=\dfrac{3}{20}=0{,}15.

Donc la probabilité que le joueur obtienne une boule avec la lettre A et un billet de $50$ euros est $0{,}15$ .

Réponse : $P(A\cap C)=\dfrac{3}{20}=0{,}15$ .

Question 3.

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers, avec $P(A)>0$ et $P(\overline{A})>0$ .

D'après la formule des probabilités totales :

P(C)=P(A\cap C)+P(\overline{A}\cap C).

On calcule

P(\overline{A}\cap C)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(C)=\dfrac34\times\dfrac14=\dfrac{3}{16}=0{,}1875.

Donc

\begin{aligned} P(C)&=0{,}15+0{,}1875\\ &=0{,}3375. \end{aligned}

Donc la probabilité que le joueur obtienne un billet de $50$ euros est bien égale à $0{,}3375$ .

Question 4.

On cherche la probabilité que le joueur ait obtenu une boule B sachant qu'il a obtenu un billet de $10$ euros, c'est-à-dire $P_{\overline{C}}(\overline{A})$ .

D'après la question 3, on a

P(\overline{C})=1-P(C)=1-0{,}3375=0{,}6625.

On a par ailleurs

P(\overline{A}\cap\overline{C})=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(\overline{C})=\dfrac34\times\dfrac34=\dfrac9{16}=0{,}5625.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle, avec $P(\overline{C})\neq0$ :

P_{\overline{C}}(\overline{A})=\dfrac{P(\overline{A}\cap\overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{0{,}5625}{0{,}6625}=\dfrac{45}{53}.

La valeur approchée au millième est $0{,}849$ .

Or $0{,}849>0{,}8$ (valeur exacte : $\dfrac{45}{53}>\dfrac{4}{5}$ car $45\times5=225>212=4\times53$ ).

Donc l'affirmation est vraie : si le joueur a obtenu un billet de $10$ euros, il y a plus de $80\,\%$ de chances qu'il ait obtenu une boule avec la lettre B.

Réponse : $P_{\overline{C}}(\overline{A})=\dfrac{45}{53}\approx0{,}849>0{,}8$   l'affirmation est vraie.

Question 5.

La variable $X_1$ prend les valeurs $50$ et $10$ . Les évènements $\{X_1=50\}$ et $C$ sont les mêmes, de même que $\{X_1=10\}$ et $\overline{C}$ . D'après la question 3 :

P(X_1=50)=0{,}3375\qquad\text{et}\qquad P(X_1=10)=0{,}6625.

L'espérance est

\begin{aligned} E(X_1)&=50\times0{,}3375+10\times0{,}6625\\ &=16{,}875+6{,}625\\ &=23{,}5. \end{aligned}

Pour la variance, on utilise la formule de König-Huygens : $V(X_1)=E(X_1^2)-\left(E(X_1)\right)^2$ .

On a

\begin{aligned} E(X_1^2)&=50^2\times0{,}3375+10^2\times0{,}6625\\ &=2500\times0{,}3375+100\times0{,}6625\\ &=843{,}75+66{,}25\\ &=910. \end{aligned}

Donc

\begin{aligned} V(X_1)&=910-23{,}5^2\\ &=910-552{,}25\\ &=357{,}75. \end{aligned}

Donc $E(X_1)=23{,}50$ et $V(X_1)=357{,}75$ .

Question 6. a)

La boule et le billet sont remis avant la deuxième partie : la situation est identique à celle de la première partie. Donc $X_2$ suit la même loi que $X_1$ et $E(X_2)=E(X_1)=23{,}5$ .

Par linéarité de l'espérance :

E(Y)=E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)=23{,}5+23{,}5=47.

Donc $E(Y)=47$ .

Question 6. b)

La boule est remise dans le sac et le billet dans son urne : la deuxième partie se déroule dans les mêmes conditions que la première, quel que soit le résultat de la première. Les deux parties sont donc indépendantes, et les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes.

Or la variance d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances.

Donc $V(Y)=V(X_1)+V(X_2)$ .

Question 7.

Chaque partie se joue avec remise : les variables aléatoires $X_1,X_2,\ldots,X_{100}$ sont indépendantes et suivent toutes la même loi que $X_1$ .

Par linéarité de l'espérance :

E(Z)=100\times E(X_1)=100\times23{,}5=2350.

Par indépendance, la variance de la somme est la somme des variances :

V(Z)=100\times V(X_1)=100\times357{,}75=35775.

On remarque que

1950<Z<2750\iff-400<Z-2350<400\iff|Z-2350|<400.

On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $Z$ , d'espérance $2350$ et de variance $35775$ , avec $\delta=400>0$ :

P\left(|Z-2350|\geqslant400\right)\leqslant\dfrac{V(Z)}{400^2}=\dfrac{35775}{160000}\approx0{,}2236.

L'évènement $\{1950<Z<2750\}$ est le contraire de $\{|Z-2350|\geqslant400\}$ . Donc

P(1950<Z<2750)=1-P\left(|Z-2350|\geqslant400\right)\geqslant1-\dfrac{35775}{160000}\approx0{,}776.

Comme $0{,}776\geqslant0{,}75$ , on obtient

P(1950<Z<2750)\geqslant0{,}75.

Donc la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $]1950\,;2750[$ est supérieure ou égale à $0{,}75$ .

Points clés attendus

Traduire les données de l'énoncé en probabilités (conditionnelles) et compléter l'arbre avec des poids dont la somme vaut $1$ à chaque nœud.
Citer la partition $\{A,\overline{A}\}$ pour la formule des probabilités totales.
Pour l'affirmation de la question 4, calculer la probabilité conditionnelle demandée et la comparer à $0{,}8$ .
Justifier l'indépendance des parties par la remise de la boule et du billet, avant d'additionner les variances.
Pour la question 7, nommer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner $E(Z)$ et $V(Z)$ , et reconnaître $1950<Z<2750\iff|Z-2350|<400$ .

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Nouvelle-Calédonie, 20 novembre 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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