Bac 2025, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1. Dans le cube ABCDEFGH, on a $\overrightarrow{\mathrm{FG}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

D'après la relation de Chasles et l'hypothèse $\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,

Les arêtes $[\mathrm{BC}]$, $[\mathrm{BF}]$ et $[\mathrm{AB}]$ sont issues d'un même sommet B du cube : elles sont deux à deux perpendiculaires. Donc $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FB}}=0$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$.

Donc

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{FG}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{FM}}$ sont orthogonaux (et non nuls), et les droites (FG) et (FM) sont sécantes en F : elles sont perpendiculaires.

Question 2. Dans le cube, $\overrightarrow{\mathrm{HG}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2\,\overrightarrow{\mathrm{HG}}$ : les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{HG}}$ sont colinéaires, donc les droites (AM) et (HG) sont parallèles. Elles sont distinctes (le point H n'est pas sur la droite (AB)).

Deux droites parallèles distinctes sont contenues dans un même plan. Donc les points A, M, G et H sont coplanaires.

Partie B

Dans le repère $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$, on a

Comme $\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1\,;0\,;0)$, on a $\mathrm{M}(1+1\,;0\,;0)=\mathrm{M}(2\,;0\,;0)$.

Question 1. On calcule coordonnée par coordonnée :

Si ces vecteurs étaient colinéaires, comme $\overrightarrow{\mathrm{AH}}\neq\vec0$, il existerait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{GM}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{AH}}$. La première coordonnée donnerait $1=k\times0=0$, ce qui est impossible.

Donc $\overrightarrow{\mathrm{GM}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ ne sont pas colinéaires.

Question 2. a) La droite (GM) passe par $\mathrm{G}(1\,;1\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\mathrm{GM}}(1\,;-1\,;-1)$.

Un point $\mathrm{P}(x\,;y\,;z)$ est sur (GM) si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{GP}}=t\,\overrightarrow{\mathrm{GM}}$ avec $t\in\mathbb{R}$, c'est-à-dire

On retrouve la représentation paramétrique demandée.

Question 2. b) Un point commun aux droites (GM) et (AH) correspond à des réels $t$ et $k$ vérifiant

La première équation donne $t=-1$. Les deux autres équations sont identiques et donnent $k=1-(-1)=2$.

Pour $t=-1$ dans (GM) : $(1-1\,;\,1+1\,;\,1+1)=(0\,;2\,;2)$.

Pour $k=2$ dans (AH) : $(0\,;2\,;2)$.

Les deux droites ont donc un unique point commun (elles ne sont pas parallèles d'après la question 1) : c'est le point $\mathrm{N}(0\,;2\,;2)$.

Question 3. a) On a $\overrightarrow{\mathrm{AM}}(2\,;0\,;0)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AN}}(0\,;2\,;2)$. Donc

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ sont orthogonaux et non nuls : le triangle AMN est rectangle en A.

Question 3. b) On a $\mathrm{AM}=\sqrt{2^2+0^2+0^2}=2$ et $\mathrm{AN}=\sqrt{0^2+2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$.

Le triangle étant rectangle en A, son aire est

Réponse : $\mathcal{A}=2\sqrt2$ (unités d'aire).

Question 4. a) Le point J est le centre de la face BCGF, c'est-à-dire le milieu de la diagonale $[\mathrm{BG}]$, avec $\mathrm{B}(1\,;0\,;0)$ et $\mathrm{G}(1\,;1\,;1)$ :

Question 4. b) On a $\overrightarrow{\mathrm{FJ}}\left(1-1\,;\ \dfrac12-0\,;\ \dfrac12-1\right)=\left(0\,;\dfrac12\,;-\dfrac12\right)$.

Calculons les produits scalaires avec deux vecteurs du plan (AMN) :

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles : la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ est nulle, pas celle de $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$) et $\overrightarrow{\mathrm{FJ}}\neq\vec0$.

Donc $\overrightarrow{\mathrm{FJ}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AMN) : c'est un vecteur normal à ce plan.

Question 4. c) Le vecteur $\vec{n}(0\,;1\,;-1)=2\,\overrightarrow{\mathrm{FJ}}$ est normal à (AMN), donc une équation cartésienne du plan est de la forme $y-z+d=0$.

Le point $\mathrm{A}(0\,;0\,;0)$ appartient au plan, donc $d=0$ : le plan (AMN) a pour équation $y-z=0$.

Vérifications : pour M, $0-0=0$   pour N, $2-2=0$.

Pour J : $\dfrac12-\dfrac12=0$, donc J appartient au plan (AMN).

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{FJ}}$ est normal à (AMN) et J appartient à (AMN) : la droite (FJ) est orthogonale au plan (AMN) et le coupe en J. Donc J est le projeté orthogonal de F sur le plan (AMN).

Question 5. On utilise la formule $\mathcal{V}=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h$.

Tétraèdre AMNF. On prend pour base le triangle AMN, d'aire $\mathcal{B}=2\sqrt2$ (question 3. b)). La hauteur relative à cette base est la distance de F au plan (AMN), c'est-à-dire $\mathrm{FJ}$ puisque J est le projeté orthogonal de F sur ce plan (question 4. c)) :

Donc

Pyramide BCGFM. Sa base est le carré BCGF, d'aire $1\times1=1$. Le point M est sur la droite (AB), perpendiculaire à la face BCGF, et B est dans cette face : la hauteur est $\mathrm{BM}=1$. Donc

Donc $\mathcal{V}_{\mathrm{AMNF}}=\dfrac23=2\times\dfrac13=2\,\mathcal{V}_{\mathrm{BCGFM}}$ : le volume du tétraèdre AMNF est le double de celui de la pyramide BCGFM.

Points clés attendus

• Utiliser les relations de Chasles et les orthogonalités des arêtes du cube pour la perpendiculaire, et le parallélisme de (AM) et (HG) pour la coplanarité.

• Calculer les coordonnées des vecteurs, justifier la non-colinéarité et résoudre le système d'intersection.

• Justifier un vecteur normal par deux produits scalaires nuls avec des vecteurs non colinéaires du plan, puis donner l'équation du plan et la vérifier.

• Conclure que J est le projeté orthogonal de F : vecteur normal et appartenance au plan.

• Pour les volumes, citer la formule et identifier base et hauteur correspondantes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.