Bac 2025, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1.

La fonction $x\mapsto 3x-2$ est définie et strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$ (fonction affine de coefficient directeur $3>0$).

Pour $x\geqslant2$, on a $3x-2\geqslant4$, donc $3x-2$ appartient à $[4\,;+\infty[\ \subset[0\,;+\infty[$.

La fonction racine carrée est définie et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Par composition de deux fonctions strictement croissantes, $f$ est définie et strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$.

Valeur en $2$ :

Limite en $+\infty$ :

D'après le théorème sur la limite d'une composée,

Donc $f$ est strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$, avec $f(2)=2$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, ce qui justifie le tableau de variations.

Question 2. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété

Initialisation.

On a $u_0=6$ et

Donc $2\leqslant4\leqslant6\leqslant6$, c'est-à-dire $2\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant6$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $2\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant6$.

Les nombres $2$, $u_{k+1}$, $u_k$ et $6$ appartiennent à l'intervalle $[2\,;+\infty[$, sur lequel la fonction $f$ est strictement croissante (question 1). On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $f(2)=2$, $f(u_{k+1})=u_{k+2}$, $f(u_k)=u_{k+1}$ et $f(6)=4$. On obtient

Comme $4\leqslant6$, on en déduit $2\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant6$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant6$.

Question 2. b)

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ :

• $u_{n+1}\leqslant u_n$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante

• $u_n\geqslant2$, donc la suite $(u_n)$ est minorée par $2$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Question 3.

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$. Comme $u_n\geqslant2$ pour tout $n$, le passage à la limite dans l'inégalité large donne $\ell\geqslant2$.

On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$, c'est-à-dire $\sqrt{3\ell-2}=\ell$.

En élevant au carré (les deux membres sont positifs), on obtient

Cette équation se factorise :

donc $\ell=1$ ou $\ell=2$.

Comme $\ell\geqslant2$, la valeur $\ell=1$ est exclue.

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est $\ell=2$.

Réponse : $\ell=2$.

Question 4. a)

La suite $(u_n)$ converge vers $2$ et $a=2{,}000001>2$.

Par définition de la limite, l'intervalle ouvert $]\,1{,}999999\,;2{,}000001[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $n_0$. En particulier $u_n<2{,}000001$ pour tout $n\geqslant n_0$.

Dans la fonction, la boucle while se poursuit tant que u >= a. À partir du rang $n_0$, cette condition est fausse : la boucle s'arrête.

Donc rang(2.000001) renvoie une valeur : le plus petit entier $n$ tel que $u_n<2{,}000001$.

Question 4. b)

Réponse : la fonction rang(a) renvoie un résultat si et seulement si $a>2$.

• Si $a>2$ : la suite $(u_n)$ converge vers $2<a$, donc il existe un rang à partir duquel $u_n<a$. La condition u >= a devient fausse, la boucle s'arrête et la fonction renvoie un résultat (si $a>6$, la boucle ne s'exécute pas et la fonction renvoie $0$).

• Si $a\leqslant2$ : pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant2\geqslant a$ (question 2. a)), donc la condition u >= a reste toujours vraie. La boucle ne s'arrête jamais et la fonction ne renvoie aucun résultat.

Donc rang(a) renvoie un résultat exactement pour $a>2$.

Partie B

Question 1.

On a $v_0=6$, donc

Réponse : $v_1=\dfrac83$.

Question 2. a)

Soit $n$ un entier naturel. La suite $(v_n)$ est bien définie, donc $v_n\neq0$, et on admet $v_n\neq2$. On a $v_{n+1}=3-\dfrac{2}{v_n}$.

Calcul du numérateur de $w_{n+1}$ :

Calcul du dénominateur de $w_{n+1}$ :

Donc

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=2\,w_n$ : la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $2$.

Son premier terme est

Donc $(w_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $w_0=1{,}25$.

Question 2. b)

La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $1{,}25$, donc, pour tout entier naturel $n$,

On admet que $w_n-1=\dfrac{1}{v_n-2}$. Donc

Le nombre $1{,}25\times2^n-1$ est non nul (il est supérieur ou égal à $0{,}25$), donc en passant à l'inverse :

On en déduit, pour tout entier naturel $n$,

Question 2. c)

Comme $2>1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1{,}25\times2^n-1\right)=+\infty$ (produit par $1{,}25>0$, puis somme avec une constante).

Par passage à l'inverse, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{1{,}25\times2^n-1}=0$.

Donc, par somme,

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=2$.

Question 3.

Pour tout entier naturel $n$, $2^n\geqslant1$, donc $1{,}25\times2^n-1\geqslant0{,}25>0$.

On peut donc multiplier ou passer à l'inverse dans les inégalités sans changer leur sens à condition de rester entre nombres strictement positifs. On a

On calcule les puissances de $2$ : $2^6=64<80{,}8$ et $2^7=128>80{,}8$.

La suite $(2^n)$ étant strictement croissante, $2^n>80{,}8$ si et seulement si $n\geqslant7$.

Donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n<2{,}01$ est $n=7$.

Réponse : $n=7$.

Partie C

Étude de la suite $(v_n)$.

Pour tout entier naturel $n$, $w_n-1=1{,}25\times2^n-1>0$ et la suite $(w_n)$ est strictement croissante (géométrique de raison $2>1$ et de premier terme positif). Donc $w_n-1$ est strictement croissante et strictement positive, et $v_n=2+\dfrac{1}{w_n-1}$ est strictement décroissante.

De plus $v_n>2>1{,}99$ pour tout $n$.

D'après la partie B (question 3) et la décroissance de $(v_n)$ : $v_n<2{,}01$ si et seulement si $n\geqslant7$.

Donc $v_n\in\,]1{,}99\,;2{,}01[$ si et seulement si $n\geqslant7$.

Étude de la suite $(u_n)$.

La suite $(u_n)$ est décroissante et, pour tout $n$, $u_n\geqslant2>1{,}99$.

Il reste à déterminer le premier rang pour lequel $u_n<2{,}01$. La fonction rang de la partie A renvoie ce rang pour $a=2{,}01>2$. Le calcul des termes donne

Donc rang(2.01) renvoie $17$. Comme $(u_n)$ est décroissante, $u_n<2{,}01$ si et seulement si $n\geqslant17$.

Donc $u_n\in\,]1{,}99\,;2{,}01[$ si et seulement si $n\geqslant17$.

Conclusion.

Pour $n\geqslant17$, on a à la fois $n\geqslant7$ et $n\geqslant17$ : les termes $v_n$ et $u_n$ appartiennent à $]1{,}99\,;2{,}01[$. Pour $n=16$, $u_{16}\geqslant2{,}01$, donc $u_{16}$ n'appartient pas à l'intervalle.

Donc le plus petit entier $N$ cherché est $N=17$.

Réponse : $N=17$.

Points clés attendus

• Justifier les variations de $f$ par composition de fonctions croissantes, et donner $f(2)$ ainsi que la limite en $+\infty$.

• Récurrence rédigée en trois temps (initialisation, hérédité avec la croissance de $f$ sur $[2\,;+\infty[$, conclusion), en utilisant $f(6)=4\leqslant6$.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite décroissante et minorée) et rejeter $\ell=1$ grâce à $\ell\geqslant2$.

• Pour rang(a) : lier l'arrêt de la boucle à la convergence vers $2$ et à la minoration $u_n\geqslant2$.

• Montrer que $(w_n)$ est géométrique en calculant séparément $v_{n+1}-1$ et $v_{n+1}-2$, puis en déduire $v_n$ et sa limite.

• Partie C : combiner la monotonie des deux suites et les rangs $7$ et $17$, sans oublier de vérifier que $u_{16}\geqslant2{,}01$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.