Bac 2025, Métropole : exercice 4

Question 1. a) On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$.

La première coordonnée impose $-4=-5k$, donc $k=\dfrac{-4}{-5}=0{,}8$.

La deuxième coordonnée impose $5=2k$, donc $k=\dfrac{5}{2}=2{,}5$.

Ces deux valeurs sont différentes : il n'existe pas de tel réel $k$, donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

Question 1. b) On admet que le plan (ABC) a pour équation $29x+30y-17z=35$.

Les points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si D appartient au plan (ABC), puisque A, B, C définissent ce plan (ils ne sont pas alignés).

On remplace les coordonnées de D$(-3\,;-4\,;6)$ dans le membre de gauche :

Or $-309\neq 35$, donc D n'appartient pas au plan (ABC).

Donc les points A, B, C, D ne sont pas coplanaires.

Réponse : non coplanaires.

Question 2. a) Le milieu I de $[AB]$ a pour coordonnées la demi-somme de celles de A et de B :

Donc le milieu de $[AB]$ est le point $I\left(\dfrac32\,;0\,;\dfrac12\right)$.

Réponse : $I\left(\dfrac32\,;0\,;\dfrac12\right)$.

Question 2. b) Par définition, le plan médiateur $P_1$ de $[AB]$ passe par I et est orthogonal à la droite (AB).

Le vecteur $\overrightarrow{AB}(-5\,;2\,;-5)$ est non nul et dirige (AB) : c'est donc un vecteur normal à $P_1$.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $P_1$ si et seulement si $\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$, c'est-à-dire

On développe :

On multiplie par $-1$ :

Donc une équation cartésienne de $P_1$ est $5x-2y+5z=10$.

Question 3. a) Soit $M(x\,;y\,;z)$ un point de $P_2$. Comme $P_2$ est l'ensemble des points équidistants de C$(0\,;4\,;5)$ et de D$(-3\,;-4\,;6)$, on a $MC^2=MD^2$.

On exprime les deux carrés de distances avec la formule de la distance dans un repère orthonormé :

L'égalité $MC^2=MD^2$ équivaut, après simplification des termes $x^2$, $y^2$, $z^2$, à

On divise par $-2$ :

Donc une équation cartésienne de $P_2$ est $-3x-8y+z=10$.

Question 3. b) Un vecteur normal à $P_1$ est $\vec{n_1}(5\,;-2\,;5)$ et un vecteur normal à $P_2$ est $\vec{n_2}(-3\,;-8\,;1)$.

Ces vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe $k$ tel que $\vec{n_2}=k\,\vec{n_1}$. La première coordonnée donne $k=-\dfrac35$, la deuxième donne $k=\dfrac{-8}{-2}=4$. Ces valeurs sont différentes, donc $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas colinéaires.

Deux plans dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires ne sont pas parallèles.

Donc les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants, suivant une droite.

Question 4. Soit $t$ un réel et $M_t(-2-1{,}9t\,;t\,;4+2{,}3t)$ le point de $\Delta$ de paramètre $t$.

On vérifie l'équation de $P_1$ :

On vérifie l'équation de $P_2$ :

Ces égalités sont vraies pour tout réel $t$, donc tout point de $\Delta$ appartient à $P_1$ et à $P_2$ : $\Delta$ est contenue dans $P_1\cap P_2$.

D'après la question 3. b), $P_1\cap P_2$ est une droite. La droite $\Delta$ est contenue dans cette droite, donc elles sont confondues.

Donc $\Delta$ est la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$.

Question 5. Un vecteur directeur de $\Delta$ se lit sur la représentation paramétrique : $\vec{u}(-1{,}9\,;1\,;2{,}3)$.

Un vecteur normal au plan $P_3$ (d'équation $8x-10y-4z=-15$) est $\vec{n_3}(8\,;-10\,;-4)$.

On calcule le produit scalaire :

Ce produit scalaire est non nul, donc $\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n_3}$ : la droite $\Delta$ n'est pas parallèle au plan $P_3$.

Une droite non parallèle à un plan le coupe en un unique point.

Donc la droite $\Delta$ et le plan $P_3$ sont sécants.

Question 6. Soit $H'$ le point d'intersection de $\Delta$ et de $P_3$.

Comme $H'\in\Delta=P_1\cap P_2$, le point $H'$ appartient à $P_1$, à $P_2$ et à $P_3$.

Un point de $P_1$ est équidistant de A et de B, donc $H'A=H'B$.

Un point de $P_2$ est équidistant de C et de D, donc $H'C=H'D$.

Un point de $P_3$ (plan médiateur de $[AC]$) est équidistant de A et de C, donc $H'A=H'C$.

On en déduit $H'A=H'B=H'C=H'D$ : le point $H'$ est équidistant des quatre points A, B, C, D.

Les points A, B, C, D ne sont pas coplanaires (question 1. b)), donc d'après la propriété admise il n'existe qu'un seul point équidistant de ces quatre points : c'est H.

Donc $H'=H$ : le point d'intersection de $\Delta$ et de $P_3$ est le point H.

On peut calculer ses coordonnées. Le point de paramètre $t$ est dans $P_3$ si et seulement si

On obtient

Réponse : $H\left(-\dfrac{365}{344}\,;-\dfrac{85}{172}\,;\dfrac{985}{344}\right)$, obtenu pour $t=-\dfrac{85}{172}$.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité par deux valeurs différentes de $k$, et la non-coplanarité par le fait que D ne vérifie pas l'équation de (ABC).

• Écrire l'équation d'un plan médiateur à partir d'un point (le milieu) et d'un vecteur normal, ou par l'égalité des carrés de distances.

• Pour la droite d'intersection : vérifier les deux équations pour tout $t$, puis conclure par le fait que l'intersection de deux plans sécants est une droite.

• Pour montrer que la droite et le plan sont sécants : produit scalaire du vecteur directeur et du vecteur normal non nul.

• Raisonner sur l'équidistance des quatre points et invoquer l'unicité admise du point équidistant.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.