Terminale Spé Maths / Chapitre 9 : Dénombrement / Annales du bac

Bac 2025, Métropole : exercice 4

9 septembre 2025 · jour 1 · 4 points Vrai / Faux

Chapitre 9 : Dénombrement

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet.

Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat.

Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.

Affirmation 1 : Le nombre de codes différents pouvant être générés est 5040.
Une étude a permis de considérer que :
- la probabilité qu'une personne choisisse l'audioguide sachant qu'elle a acheté son billet en ligne est égale à 0,8
- la probabilité qu'une personne achète son billet en ligne est égale à $0,7$
- la probabilité qu'une personne opte pour une visite sans audioguide est égale à 0,32.
Affirmation 2 : La probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a acheté son billet au guichet est supérieure à deux tiers.
On choisit au hasard 12 visiteurs de ce musée.

On suppose que le choix de l'option « audioguide » est indépendant d'un visiteur à l'autre.

Affirmation 3 : La probabilité qu'exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l'audioguide est égale à $924 \times 0,2176^6$ .
Lorsqu'une personne dispose d'un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :
- un premier d'une durée de cinquante minutes,
- un deuxième d'une durée d'une heure et vingt minutes,
- un troisième d'une durée d'une heure et quarante minutes.
Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

$x_i$ 50 min 1 h 20 min 1 h 40 min
$P(X = x_i)$ 0,1 0,6 0,3

Affirmation 4 : L'espérance de $X$ est 77 minutes.

Voir le corrigé

Affirmation 1.

Les codes sont formés de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de $0$ . On les dénombre en choisissant successivement les chiffres.

Premier chiffre : 9 choix (les chiffres de $1$ à $9$ ).
Deuxième chiffre : 9 choix (les 10 chiffres sauf le premier   le chiffre $0$ est maintenant autorisé).
Troisième chiffre : 8 choix (les chiffres restants).
Quatrième chiffre : 7 choix.

D'après le principe multiplicatif, le nombre de codes est

9\times9\times8\times7=4\,536.

Le nombre $5\,040=10\times9\times8\times7$ correspond aux codes de 4 chiffres distincts sans restriction sur le premier chiffre, donc il compte aussi les codes commençant par $0$ .

Donc l'affirmation 1 est fausse : le nombre de codes pouvant être générés est $4\,536$ et non $5\,040$ .

Affirmation 2.

On note $O$ l'évènement « le billet est acheté en ligne » et $A$ l'évènement « le visiteur prend l'audioguide ».

Les données de l'énoncé se traduisent par

P_O(A)=0{,}8,\qquad P(O)=0{,}7,\qquad P(\overline{A})=0{,}32.

On en déduit $P(\overline{O})=1-0{,}7=0{,}3$ et $P(A)=1-0{,}32=0{,}68$ .

On cherche $P_{\overline{O}}(\overline{A})$ .

Calcul de $P(O\cap A)$ :

P(O\cap A)=P(O)\times P_O(A)=0{,}7\times0{,}8=0{,}56.

Les évènements $O$ et $\overline{O}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,

P(A)=P(O\cap A)+P(\overline{O}\cap A),

donc

P(\overline{O}\cap A)=P(A)-P(O\cap A)=0{,}68-0{,}56=0{,}12.

Par définition d'une probabilité conditionnelle (avec $P(\overline{O})=0{,}3\neq0$ ) :

P_{\overline{O}}(A)=\frac{P(\overline{O}\cap A)}{P(\overline{O})}=\frac{0{,}12}{0{,}3}=0{,}4.

Donc

P_{\overline{O}}(\overline{A})=1-P_{\overline{O}}(A)=1-0{,}4=0{,}6.

Or $\dfrac23\approx0{,}667$ et $0{,}6<\dfrac23$ .

Donc l'affirmation 2 est fausse : la probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a acheté son billet au guichet est $0{,}6$ , qui n'est pas supérieure à deux tiers.

Affirmation 3.

On note $Z$ le nombre de visiteurs, parmi les 12 choisis, qui optent pour l'audioguide.

On répète 12 fois la même épreuve de Bernoulli (un visiteur prend ou non l'audioguide), de probabilité de succès $P(A)=0{,}68$ . Les choix des visiteurs sont indépendants (hypothèse de l'énoncé). Donc $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0{,}68$ .

La moitié des visiteurs correspond à $Z=6$ . D'après la formule de la loi binomiale,

\begin{aligned} P(Z=6)&=\binom{12}{6}\times0{,}68^6\times(1-0{,}68)^{12-6}\\ &=924\times0{,}68^6\times0{,}32^6\\ &=924\times(0{,}68\times0{,}32)^6\\ &=924\times0{,}2176^6. \end{aligned}

Ici $\binom{12}{6}=924$ et $0{,}68\times0{,}32=0{,}2176$ .

Donc l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4.

L'espérance de $X$ se calcule avec les durées exprimées en minutes : $50$ min, $80$ min (1 h 20 min) et $100$ min (1 h 40 min).

D'après la définition de l'espérance,

\begin{aligned} E(X)&=50\times0{,}1+80\times0{,}6+100\times0{,}3\\ &=5+48+30\\ &=83. \end{aligned}

Donc l'affirmation 4 est fausse : l'espérance de $X$ est $83$ minutes et non $77$ minutes.

Points clés attendus

Affirmation 1 : dénombrer par choix successifs en tenant compte de la restriction sur le premier chiffre ( $9\times9\times8\times7$ ).
Affirmation 2 : traduire les données en probabilités, citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{O,\overline{O}\}$ , puis comparer $0{,}6$ à $\dfrac23$ .
Affirmation 3 : justifier la loi binomiale (12 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, $p=P(A)=0{,}68$ à déduire de $P(\overline{A})=0{,}32$ ).
Affirmation 4 : convertir les durées en minutes avant de calculer l'espérance.
Pour chaque affirmation, conclure explicitement par vrai ou faux avec la justification.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Chapitre 9 : Dénombrement : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Métropole, 9 septembre 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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$x_i$	50 min	1 h 20 min	1 h 40 min
$P(X = x_i)$	0,1	0,6	0,3