Bac 2025, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1.

On considère l'épreuve de Bernoulli suivante : « une année donnée, le phénomène El Niño est dominant ». Le succès a pour probabilité $p=0{,}4$.

On répète cette épreuve sur 10 années. D'après l'énoncé, la survenue du phénomène est indépendante d'une année sur l'autre, et la probabilité $0{,}4$ est la même chaque année.

On a donc la répétition de $10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $0{,}4$.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}4$.

Question 2. a)

Pour une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}4$, on a pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $10$ :

Avec $k=2$ :

À la calculatrice, on obtient $P(X=2)\approx 0{,}121$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X=2)=45\times 0{,}4^{2}\times 0{,}6^{8}\approx 0{,}121$.

Donc la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années est environ $0{,}121$.

Question 2. b)

L'évènement $\{X\leqslant 2\}$ est la réunion des évènements deux à deux incompatibles $\{X=0\}$, $\{X=1\}$ et $\{X=2\}$. Donc

À la calculatrice : $P(X=0)\approx 0{,}006$, $P(X=1)\approx 0{,}040$ et $P(X=2)\approx 0{,}121$, d'où $P(X\leqslant 2)\approx 0{,}167$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(X\leqslant 2)\approx 0{,}167$.

Donc la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant au plus 2 années est environ $0{,}167$, soit environ $16{,}7\,\%$.

Question 3.

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}4$. Son espérance est donc

Réponse : $E(X)=4$.

Donc, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño est dominant en moyenne 4 années.

Partie B

Question 1.

Les données de l'énoncé se traduisent ainsi :

• $P_{E_n}(E_{n+1})=0{,}5$

• $P_{\overline{E_n}}(E_{n+1})=0{,}3$.

Par complémentaire, $P_{E_n}\left(\overline{E_{n+1}}\right)=1-0{,}5=0{,}5$ et $P_{\overline{E_n}}\left(\overline{E_{n+1}}\right)=1-0{,}3=0{,}7$. De plus $P(E_n)=p_n$ et $P\left(\overline{E_n}\right)=1-p_n$.

L'arbre complété est donc :

• première branche $E_n$ de probabilité $p_n$, puis $E_{n+1}$ de probabilité $0{,}5$ et $\overline{E_{n+1}}$ de probabilité $0{,}5$

• seconde branche $\overline{E_n}$ de probabilité $1-p_n$, puis $E_{n+1}$ de probabilité $0{,}3$ et $\overline{E_{n+1}}$ de probabilité $0{,}7$.

Question 2.

On applique la formule des probabilités totales avec la partition $\left\{E_0\,;\overline{E_0}\right\}$ de l'univers :

Comme $p_0=0$, on a $P(E_0)=0$ et $P\left(\overline{E_0}\right)=1$. Donc

Donc $p_1=0{,}3$.

Question 3.

Soit $n$ un entier naturel. Les évènements $E_n$ et $\overline{E_n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=0{,}2\,p_n+0{,}3$.

Question 4. a)

On calcule les premiers termes avec la relation de la question 3 :

Donc la suite $(p_n)$ semble croissante et converger vers $0{,}375$.

Question 4. b)

On pose, pour tout entier naturel $n$, la propriété $P(n)$ : « $p_n\leqslant\dfrac38$ ».

Initialisation. On a $p_0=0\leqslant\dfrac38$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_k\leqslant\dfrac38$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$.

On multiplie chaque membre par $0{,}2>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On ajoute $0{,}3$ à chaque membre :

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $p_n\leqslant\dfrac38$.

Question 4. c)

Soit $n$ un entier naturel. On a

D'après la question 4. b), $p_n\leqslant\dfrac38$, donc $0{,}8\,p_n\leqslant 0{,}8\times\dfrac38=0{,}3$.

Donc $p_{n+1}-p_n=0{,}3-0{,}8\,p_n\geqslant 0$.

Donc la suite $(p_n)$ est croissante.

Question 4. d)

La suite $(p_n)$ est croissante (question 4. c) et majorée par $\dfrac38$ (question 4. b).

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(p_n)$ converge.

Question 5. a)

Soit $n$ un entier naturel. On a

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$.

Son premier terme est $u_0=p_0-\dfrac38=0-\dfrac38=-\dfrac38$.

Question 5. b)

La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$ et de premier terme $u_0=-\dfrac38$. Donc, pour tout entier naturel $n$,

Or $u_n=p_n-\dfrac38$, donc

Donc, pour tout entier naturel $n$, $p_n=\dfrac38\left(1-0{,}2^{n}\right)$.

Question 5. c)

On a $-1<0{,}2<1$. D'après le résultat sur la limite d'une suite géométrique, $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}2^{n}=0$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1-0{,}2^{n}\right)=1$, puis par produit par la constante $\dfrac38$ :

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac38=0{,}375$.

Question 5. d)

Donc, à long terme, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant une année donnée se rapproche de $\dfrac38=0{,}375$, soit $37{,}5\,\%$.

Points clés attendus

• Justifier la loi binomiale : $10$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}4$.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{E_n\,;\overline{E_n}\}$ pour établir $p_{n+1}=0{,}2\,p_n+0{,}3$.

• Rédiger la récurrence complète (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion) pour la majoration par $\dfrac38$.

• Citer le théorème de la limite monotone en vérifiant les deux hypothèses : suite croissante et majorée.

• Identifier la suite géométrique $(u_n)$ de raison $0{,}2$ et de premier terme $-\dfrac38$, puis conclure sur la limite et l'interpréter dans le contexte.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.