Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites / Annales du bac

Bac 2025, Amérique du Sud : exercice 1

13 novembre 2025 · jour 1 · 4 points Python

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$ .
Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$ .

Pour tout entier naturel $n$ , on note $V_n$ , l'évènement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{e}}$ jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$ .

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$ .

1. Indiquer la valeur de $p_2$ .
2. Montrer que $p_3 = 0,88$ . On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
3. Sachant que le $3\mathrm{\text{e}}$ jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ?
  
  On arrondira le résultat à $10^{-2}$ .
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous:
Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\,\, p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$ .

On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$ .

Pour cela, on utilise une fonction appelée repas programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.

{

Programme 1 Programme 2 Programme 3

1  def repas(n):
2  p=1
3  L=[p]
4  for k in range(1,n):
5  p = 0.2*p+0.7
6  L. append(p)
7  return( L)

1  def repas(n):
2  p=1
3  L=[p]
4  for k in range(1,n+1):
5  p = 0.2*p+0.7
6  L. append(p)
7  return(L)

1  def repas(n):
2  p=1
3  L=[p]
4  for k in range(1,n):
5  p = 0.2*p+0.7
6  L.append(p+1)
7  return(L)

}

Lequel de ces programmes permet d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ ? Aucune justification n'est attendue.
Avec le programme choisi à la question a. donner le résultat affiché pour $n = 5$ .

Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n \geqslant 1,\,\, p_n = 0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875$ .
En déduire la limite de la suite $(p_n)$ .

Voir le corrigé

On note $V_n$ l'évènement « l'étudiant choisit un plat végétarien le $n^{\text{e}}$ jour » et $p_n=P(V_n)$ . Les données de l'énoncé se traduisent par

P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}9\qquad\text{et}\qquad P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})=0{,}7.

Question 1. a) Le premier jour, l'étudiant choisit un plat végétarien : $V_1$ est réalisé avec certitude ( $p_1=1$ ).

Donc $p_2=P(V_2)=P_{V_1}(V_2)=0{,}9$ .

Donc la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le deuxième jour est $0{,}9$ .

Réponse : $p_2=0{,}9$ .

Question 1. b) Les évènements $V_2$ et $\overline{V_2}$ forment une partition de l'univers.

On a $P(V_2)=0{,}9$ et $P(\overline{V_2})=1-0{,}9=0{,}1$ .

On a aussi $P_{V_2}(V_3)=0{,}9$ et $P_{\overline{V_2}}(V_3)=0{,}7$ .

D'après la formule des probabilités totales :

\begin{aligned} p_3=P(V_3)&=P(V_2\cap V_3)+P(\overline{V_2}\cap V_3)\\ &=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3)+P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)\\ &=0{,}9\times 0{,}9+0{,}1\times 0{,}7\\ &=0{,}81+0{,}07\\ &=0{,}88. \end{aligned}

Donc $p_3=0{,}88$ .

Question 1. c) On cherche la probabilité que l'étudiant ait choisi un plat non végétarien le deuxième jour sachant qu'il choisit un plat végétarien le troisième : c'est $P_{V_3}(\overline{V_2})$ .

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(V_3)=0{,}88\neq 0$ ) :

P_{V_3}(\overline{V_2})=\dfrac{P(\overline{V_2}\cap V_3)}{P(V_3)}.

On a $P(\overline{V_2}\cap V_3)=P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)=0{,}1\times 0{,}7=0{,}07$ .

Donc

P_{V_3}(\overline{V_2})=\dfrac{0{,}07}{0{,}88}\approx 0{,}08\quad\text{(arrondie au centième).}

Donc, sachant que l'étudiant a choisi un plat végétarien le troisième jour, la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien la veille est environ $0{,}08$ .

Réponse : $\dfrac{0{,}07}{0{,}88}=\dfrac{7}{88}\approx 0{,}08$ .

Question 2. L'arbre complété a les pondérations suivantes.

Premier niveau : $P(V_n)=p_n$ et $P(\overline{V_n})=1-p_n$ .
Branches issues de $V_n$ : $P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}9$ et $P_{V_n}(\overline{V_{n+1}})=1-0{,}9=0{,}1$ .
Branches issues de $\overline{V_n}$ : $P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})=0{,}7$ et $P_{\overline{V_n}}(\overline{V_{n+1}})=1-0{,}7=0{,}3$ .

Question 3. Soit $n$ un entier naturel, $n\geqslant 1$ .

Les évènements $V_n$ et $\overline{V_n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

p_{n+1}=P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1})+P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})=0{,}9\,p_n+0{,}7\,(1-p_n).

On développe :

p_{n+1}=0{,}9\,p_n+0{,}7-0{,}7\,p_n=0{,}2\,p_n+0{,}7.

Donc, pour tout entier $n\geqslant 1$ , $p_{n+1}=0{,}2\,p_n+0{,}7$ .

Question 4. a) Le programme 1 convient.

Dans ce programme, la liste L contient d'abord $p_1=1$ . La boucle for k in range(1,n) s'exécute pour $k=1,\dots,n-1$ , soit $n-1$ fois : à chaque passage, p prend la valeur $0{,}2\,p+0{,}7$ et est ajouté à la liste. La liste contient donc $p_1,p_2,\dots,p_n$ , c'est-à-dire $n$ termes.

Le programme 2 s'exécute $n$ fois dans la boucle et renvoie donc $n+1$ termes. Le programme 3 ajoute à la liste p+1 au lieu de p, donc des valeurs fausses.

Réponse : programme 1.

Question 4. b) Pour $n=5$ , on calcule les termes successifs avec la relation $p_{k+1}=0{,}2\,p_k+0{,}7$ :

\begin{aligned} p_1&=1,\\ p_2&=0{,}2\times 1+0{,}7=0{,}9,\\ p_3&=0{,}2\times 0{,}9+0{,}7=0{,}88,\\ p_4&=0{,}2\times 0{,}88+0{,}7=0{,}876,\\ p_5&=0{,}2\times 0{,}876+0{,}7=0{,}8752. \end{aligned}

Le programme renvoie donc la liste

[1,\ 0.9,\ 0.88,\ 0.876,\ 0.8752].

Python peut afficher des valeurs légèrement différentes à cause des erreurs d'arrondi sur les nombres flottants (par exemple 0.8999999999999999 au lieu de 0.9).

Réponse : [1, 0.9, 0.88, 0.876, 0.8752].

Question 5. Pour tout entier $n\geqslant 1$ , on pose la propriété

P(n)\ :\ p_n=0{,}125\times 0{,}2^{\,n-1}+0{,}875.

Initialisation. Pour $n=1$ : $0{,}125\times 0{,}2^{0}+0{,}875=0{,}125+0{,}875=1=p_1$ . Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant 1$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_k=0{,}125\times 0{,}2^{\,k-1}+0{,}875$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$ .

D'après la question 3 et l'hypothèse de récurrence :

\begin{aligned} p_{k+1}&=0{,}2\,p_k+0{,}7\\ &=0{,}2\left(0{,}125\times 0{,}2^{\,k-1}+0{,}875\right)+0{,}7\\ &=0{,}125\times 0{,}2^{\,k}+0{,}175+0{,}7\\ &=0{,}125\times 0{,}2^{\,k}+0{,}875. \end{aligned}

C'est exactement $P(k+1)$ , donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant 1$ , $p_n=0{,}125\times 0{,}2^{\,n-1}+0{,}875$ .

Question 6. On a $-1<0{,}2<1$ , donc la suite géométrique $\left(0{,}2^{\,n-1}\right)$ de raison $0{,}2$ a pour limite $0$ :

\lim_{n\to+\infty}0{,}2^{\,n-1}=0.

Par produit par la constante $0{,}125$ puis somme avec la constante $0{,}875$ :

\lim_{n\to+\infty}p_n=0{,}125\times 0+0{,}875=0{,}875.

Donc la suite $(p_n)$ converge vers $0{,}875$ : à long terme, la probabilité que l'étudiant choisisse un plat végétarien est proche de $0{,}875$ .

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0{,}875$ .

Points clés attendus

Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{V_n,\overline{V_n}\}$ , et la définition de la probabilité conditionnelle pour la question 1. c).
Traduire correctement les données : $P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}9$ et $P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})=0{,}7$ .
Dans la récurrence, énoncer l'hypothèse avec « soit $k\geqslant 1$ fixé », utiliser la relation de la question 3, puis conclure par le principe de récurrence.
Pour le programme Python, compter le nombre de passages dans la boucle range(1,n).
Justifier la limite par $-1<0{,}2<1$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 2 · 5 points · Succession d'épreuves et loi binomiale · Dénombrement
Exercice 3 · 6 points · Primitives et équations différentielles · Dérivation et convexité · Sommes de variables aléatoires et concentration
Exercice 4 · 5 points · Orthogonalité et distances dans l'espace

Revoir le cours

Chapitre 1 : Suites : le cours · exercices type bac corrigés
Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Amérique du Sud, 13 novembre 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte