Bac 2025, Centres étrangers : exercice 1

Partie A

Question 1.

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0{,}93$, donc $u_1 = 0{,}93\,u_0$.

On a

Les valeurs de la suite sont exprimées en milliers d'individus.

Donc, selon ce modèle, la population du milieu A au 1^er janvier 2026 est de $5{,}58$ milliers d'individus.

Réponse : $u_1 = 5{,}58$, soit 5 580 individus.

Question 2.

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $q = 0{,}93$.

Le terme général d'une suite géométrique est $u_n = u_0 \times q^{\,n}$.

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

Réponse : $u_n = 6 \times 0{,}93^{\,n}$.

Question 3.

On a $-1 < 0{,}93 < 1$.

Or une suite géométrique $(q^{\,n})$ de raison $q$ vérifiant $-1 < q < 1$ converge vers $0$.

Donc

Par produit par la constante $6$ :

Interprétation : selon ce modèle, la population du milieu A tend vers $0$ lorsque le temps passe, c'est-à-dire qu'elle disparaît à long terme.

Réponse : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Partie B

Question 1.

On a $v_0 = 6$ et $v_1 = -0{,}05\,v_0^2 + 1{,}1\,v_0$.

On calcule

Donc, selon ce modèle, la population du milieu B au 1^er janvier 2026 est de $4{,}8$ milliers d'individus.

Réponse : $v_1 = 4{,}8$, soit 4 800 individus.

Question 2.

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$.

Pour tout $x \geqslant 0$ :

On étudie le signe de $f'(x)$ :

Donc $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in [0\;;\;11]$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0\;;\;11]$.

Question 3.

On note $P(n)$ la propriété $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$.

On calcule d'abord deux images utiles :

Initialisation.

On a $v_0 = 6$ et $v_1 = 4{,}8$.

Donc $2 \leqslant v_1 \leqslant v_0 \leqslant 6$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

(hypothèse de récurrence).

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $2 \leqslant v_{k+2} \leqslant v_{k+1} \leqslant 6$.

Les nombres $2$, $v_{k+1}$, $v_k$ et $6$ appartiennent à l'intervalle $[0\;;\;11]$, sur lequel $f$ est croissante d'après la question 2.

On applique donc $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $v_{n+1} = f(v_n)$ pour tout $n$, donc $f(v_{k+1}) = v_{k+2}$ et $f(v_k) = v_{k+1}$.

Avec $f(2) = 2$ et $f(6) = 4{,}8$, on obtient

Comme $4{,}8 \leqslant 6$, on en déduit $2 \leqslant v_{k+2} \leqslant v_{k+1} \leqslant 6$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$P(0)$ est vraie et la propriété $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 4.

D'après la question 3, pour tout $n$, $v_{n+1} \leqslant v_n$ : la suite $(v_n)$ est décroissante.

D'après la même question, pour tout $n$, $v_{n+1} \geqslant 2$ : la suite $(v_n)$ est minorée par $2$ (et $v_0 = 6 \geqslant 2$).

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(v_n)$ converge.

Donc la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\ell$, avec $2 \leqslant \ell \leqslant 6$ par passage à la limite dans les inégalités.

Question 5.

a) La fonction $f$ est continue sur $[0\;;\;+\infty[$ (fonction polynôme).

La suite $(v_n)$ converge vers $\ell$, et $\ell \in [0\;;\;+\infty[$.

Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} f(v_n) = f(\ell)$.

Or $f(v_n) = v_{n+1}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n+1} = \ell$.

Par unicité de la limite, $f(\ell) = \ell$.

On résout cette équation :

Or $\ell \geqslant 2$ d'après la question 4, donc $\ell \neq 0$.

Donc $\ell = 2$.

Réponse : $\ell = 2$.

b) Interprétation : selon ce modèle, la population du milieu B se stabilise à long terme à $2$ milliers d'individus, soit $2\,000$ individus.

Partie C

Question 1.

La population du milieu A est strictement inférieure à $3\,000$ individus lorsque $u_n < 3$ (en milliers).

On résout

On a utilisé que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$.

Comme $0 < 0{,}93 < 1$, on a $\ln(0{,}93) < 0$ : en divisant par ce nombre, l'inégalité change de sens.

On obtient

Le plus petit entier naturel $n$ qui convient est $n = 10$.

Donc la population du milieu A devient strictement inférieure à $3\,000$ individus à partir de l'année $2025 + 10 = 2035$.

Réponse : 2035.

Question 2.

À la calculatrice, on calcule les termes successifs de $(v_n)$ :

La suite $(v_n)$ est décroissante, donc $v_n \geqslant v_5 > 3$ pour $n \leqslant 5$ et $v_n \leqslant v_6 < 3$ pour $n \geqslant 6$.

Donc la population du milieu B devient strictement inférieure à $3\,000$ individus pour $n = 6$, c'est-à-dire à partir de l'année $2025 + 6 = 2031$.

Réponse : 2031.

Question 3.

On a $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$ (partie A) et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 2$ (partie B).

Par somme de limites :

Cette limite est strictement positive : à partir d'un certain rang, $v_n - u_n$ appartient à l'intervalle $]1\;;\;3[$, donc $v_n - u_n > 0$.

Donc il existe un rang à partir duquel $v_n > u_n$ : à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépasse celle du milieu A.

Question 4.

a) À chaque passage dans la boucle, on calcule les termes $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ à partir de $u_n$ et $v_n$, puis on incrémente $n$.

La boucle doit continuer tant que la population de B n'est pas strictement supérieure à celle de A, c'est-à-dire tant que $v \leqslant u$ (au départ $v = u = 6$).

Programme complété :

n = 0
u = 6
v = 6
while v <= u:
    u = 0.93 * u
    v = -0.05 * v**2 + 1.1 * v
    n = n + 1
print(2025 + n)

Chacune des deux affectations utilise l'ancienne valeur de sa propre variable : l'ordre des deux lignes est sans importance.

b) On calcule les termes successifs (valeurs arrondies) :

Pour $n \leqslant 12$, on a $v_n \leqslant u_n$ : la condition $v \leqslant u$ reste vraie.

Pour $n = 13$, on a $v_{13} > u_{13}$ : la condition devient fausse et la boucle s'arrête avec $n = 13$.

Le programme affiche alors $2025 + 13 = 2038$.

Réponse : 2038.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée en trois temps, avec la croissance de $f$ sur $[0\;;\;11]$ citée dans l'hérédité (et les images $f(2) = 2$ et $f(6) = 4{,}8$ calculées).

• Théorème de la limite monotone énoncé avec ses deux hypothèses : suite décroissante et minorée.

• Justification de $f(\ell) = \ell$ par continuité de $f$, puis élimination de la solution $\ell = 0$ grâce à $\ell \geqslant 2$.

• Résolution de l'inéquation $6 \times 0{,}93^{\,n} < 3$ avec $\ln$ : sens de l'inégalité changé car $\ln(0{,}93) < 0$.

• Programme Python : condition de boucle $v \leqslant u$ et deux mises à jour correctes, puis année affichée $2025 + n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.