Bac 2025, Asie : exercice 4

Partie A

Question 1.

À l'instant $t=0$, la température initiale se lit sur l'axe des ordonnées : elle vaut $40\,^\circ$C.

La courbe monte d'abord jusqu'à un maximum d'environ $61{,}6\,^\circ$C vers $t\approx 1{,}3$, puis redescend.

Elle repasse par l'ordonnée $40$ juste avant $t=4$ (en $t=4$, la température lue est d'environ $38\,^\circ$C).

Donc la température redescend à sa valeur initiale au bout d'environ $3{,}8$ minutes.

Réponse : environ $3{,}8$ minutes (lecture graphique).

Question 2.

On a $f(t)=(at+b)\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, donc

Comme $f(0)=40$, on obtient $b=40$.

Réponse : $b=40$.

Question 3.

La fonction $f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables, avec $f(t)=(at+40)\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.

On utilise $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(t)=at+40$ et $v(t)=\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, donc $u'(t)=a$ et $v'(t)=-0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ :

Donc

Comme $f$ est solution de $(\mathrm{E})$, on a pour tout $t\in[0\,;10]$ :

On divise par $\mathrm{e}^{-0{,}5t}>0$ : $a=60$.

Réponse : $a=60$.

Partie B

Question 1.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;10]$ comme produit de fonctions dérivables.

On pose $u(t)=60t+40$ et $v(t)=\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, donc $u'(t)=60$ et $v'(t)=-0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(t)=-0{,}5t$).

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $t\in[0\,;10]$ :

Donc, pour tout $t\in[0\,;10]$, $f'(t)=(40-30t)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.

Question 2. a)

L'énoncé comporte une coquille : l'intervalle d'étude est $[0\,;10]$.

Pour tout $t\in[0\,;10]$, on a $\mathrm{e}^{-0{,}5t}>0$.

Donc $f'(t)$ a le même signe que $40-30t$.

On a

Donc :

• $f'(t)>0$ sur $\left[0\,;\dfrac43\right[$, donc $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac43\right]$

• $f'\left(\dfrac43\right)=0$

• $f'(t)<0$ sur $\left]\dfrac43\,;10\right]$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac43\,;10\right]$.

Les valeurs aux bornes et à l'extremum sont :

• $f(0)=40$

• $f\left(\dfrac43\right)=\left(60\times\dfrac43+40\right)\mathrm{e}^{-2/3}=120\,\mathrm{e}^{-2/3}\approx 61{,}6$

• $f(10)=(600+40)\,\mathrm{e}^{-5}=640\,\mathrm{e}^{-5}\approx 4{,}3$.

Tableau de variations : $f$ passe de $40$ (en $t=0$) à son maximum $120\,\mathrm{e}^{-2/3}\approx 61{,}6$ (en $t=\dfrac43$) en croissant, puis décroît jusqu'à $640\,\mathrm{e}^{-5}\approx 4{,}3$ (en $t=10$).

Donc $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac43\right]$ puis strictement décroissante sur $\left[\dfrac43\,;10\right]$.

Question 2. b)

On cherche les solutions de $f(t)=40$ sur $]0\,;10]$, en distinguant deux intervalles.

Sur $\left]0\,;\dfrac43\right]$. La fonction $f$ est strictement croissante, donc pour $t>0$ on a $f(t)>f(0)=40$.

L'équation $f(t)=40$ n'a donc pas de solution sur cet intervalle.

Sur $\left[\dfrac43\,;10\right]$. On vérifie les hypothèses du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) :

• $f$ est continue sur $\left[\dfrac43\,;10\right]$, car dérivable

• $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle

• $f\left(\dfrac43\right)\approx 61{,}6>40$ et $f(10)\approx 4{,}3<40$, donc $40$ est strictement compris entre $f(10)$ et $f\left(\dfrac43\right)$.

Donc l'équation $f(t)=40$ admet une unique solution dans $\left[\dfrac43\,;10\right]$.

Par réunion des deux cas, l'équation $f(t)=40$ admet une unique solution $\alpha$ strictement positive sur $]0\,;10]$.

Question 2. c)

À la calculatrice :

Comme $f$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac43\,;10\right]$, on en déduit $3{,}8<\alpha<3{,}9$.

Donc $\alpha\approx 3{,}8$ au dixième près.

Interprétation : la température redescend à sa valeur initiale ($40\,^\circ$C) au bout d'environ $3{,}8$ minutes, ce qui est cohérent avec la lecture graphique de la partie A.

Réponse : $\alpha\approx 3{,}8$ minutes.

Question 3. a)

On pose, pour $t\in[0\,;4]$ :

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;4]$.

D'après la formule d'intégration par parties $\displaystyle\int_a^b u\,v'=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^b u'\,v$ :

Le crochet vaut

Une primitive de $t\mapsto 120\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ est $t\mapsto -240\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, donc

On additionne :

Donc $\displaystyle\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t=320-\dfrac{800}{\mathrm{e}^{2}}$.

Question 3. b)

La température moyenne sur les $4$ premières minutes est, avec $t_1=0$ et $t_2=4$ :

À la calculatrice, $80-\dfrac{200}{\mathrm{e}^{2}}\approx 52{,}93$.

Donc la température moyenne de la réaction au cours des $4$ premières minutes est d'environ $53\,^\circ$C, au degré près.

Réponse : $80-\dfrac{200}{\mathrm{e}^{2}}\approx 52{,}93$, soit environ $53\,^\circ$C.

Points clés attendus

• Partie A : lecture graphique soignée (ordonnée initiale $40$), puis identification de $a$ et $b$ à partir de $f(0)$ et de l'équation différentielle.

• Dérivée d'un produit avec la dérivée de $t\mapsto\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, puis factorisation par $\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.

• Signe de $f'$ justifié par la positivité de l'exponentielle, tableau de variations avec les valeurs en $0$, $\dfrac43$ et $10$.

• Équation $f(t)=40$ : traiter séparément la partie croissante (pas de solution) et la partie décroissante (théorème des valeurs intermédiaires ou de la bijection, hypothèses vérifiées).

• Intégration par parties : poser $u$ et $v'$ explicitement, calculer le crochet avec soin, et diviser par $4$ pour la moyenne.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.