Bac 2025, Asie : exercice 2

Partie A

Question 1.

On a $u_0=30$ et $u_{n+1}=\dfrac12 u_n+10$.

Donc

Puis

Réponse : $u_1=25$ et $u_2=\dfrac{45}{2}$.

Question 2.

Soit $n$ un entier naturel.

On a, par définition de $v_{n+1}$ puis de $u_{n+1}$ :

On factorise par $\dfrac12$ :

Le premier terme est $v_0=u_0-20=30-20=10$.

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0=10$.

Question 3.

Une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$ vérifie $v_n=v_0\,q^n$ pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$,

Réponse : $v_n=10\left(\dfrac12\right)^n$.

Question 4.

Par définition de $v_n$, on a $u_n=v_n+20$.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel $n$,

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.

Question 5.

On a $-1<\dfrac12<1$.

D'après le résultat sur la limite d'une suite géométrique de raison $q\in]-1\,;1[$, on a

Par produit par $10$, puis somme avec $20$ :

Donc la suite $(u_n)$ converge vers $20$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=20$.

Partie B

Question 1.

On a $w_0=45$ et $u_0=30$.

Donc

Donc $w_1=44{,}5$.

Question 2.

Pour $i\geqslant 1$, la relation de l'énoncé s'écrit

Au passage numéro $i$ de la boucle, avant les lignes 5 et 6, les variables valent U$=u_{i-1}$ et W$=w_{i-1}$.

Dans la fonction proposée, la ligne 5 met d'abord U à jour : U vaut alors $u_i$.

La ligne 6 calcule ensuite W avec cette nouvelle valeur : on obtient $\dfrac12 w_{i-1}+\dfrac12 u_i+7$, qui n'est pas $w_i$.

Par exemple, suite(1) renvoie $\dfrac{45}{2}+\dfrac{25}{2}+7=42$ et non $w_1=44{,}5$.

Pour corriger la fonction, il faut calculer W avec l'ancienne valeur de U, donc intervertir les lignes 5 et 6 :

def suite(n):
    U=30
    W=45
    for i in range (1,n+1):
        W=W/2+U/2+7
        U=U/2+10
    return W

Avec cette version, suite(1) calcule W$=\dfrac{45}{2}+\dfrac{30}{2}+7=44{,}5=w_1$, puis met U à jour avec $u_1=25$.

Donc il suffit d'intervertir les lignes 5 et 6 pour que suite(n) renvoie $w_n$.

Question 3. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété

Initialisation.

Pour $n=0$, le membre de droite vaut $10\times 0\times 1+11\times 1+34=45$.

Or $w_0=45$.

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $\mathcal{P}(k+1)$.

On a, par définition de la suite $(w_n)$ :

On remplace $w_k$ par l'hypothèse de récurrence et $u_k$ par le résultat de la question A4, $u_k=20+10\left(\dfrac12\right)^k$ :

On écrit $\left(\dfrac12\right)^k=2\left(\dfrac12\right)^{k+1}$ :

Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Question 3. b)

On admet que, pour $n\geqslant 4$,

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{10}{n}=0$ et la suite constante nulle converge vers $0$.

D'après le théorème des gendarmes, la suite $\left(10n\left(\dfrac12\right)^n\right)$ converge vers $0$ :

De plus, comme $-1<\dfrac12<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}11\left(\dfrac12\right)^n=0$.

Par somme des limites, avec l'expression démontrée à la question précédente :

Donc la suite $(w_n)$ converge, et sa limite est $34$.

Réponse : $(w_n)$ converge vers $34$.

Points clés attendus

• Pour montrer qu'une suite est géométrique, établir $v_{n+1}=q\,v_n$ pour tout $n$ et donner le premier terme.

• Citer la limite de $q^n$ pour $-1<q<1$ avant de conclure sur $(u_n)$.

• Python : repérer que l'ordre des deux affectations dans la boucle décale l'indice de $u$ utilisé pour calculer $w_n$.

• Récurrence rédigée en trois temps (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion), en utilisant l'expression de $u_n$ de la question A4 dans l'hérédité.

• Théorème des gendarmes cité avec ses deux hypothèses : encadrement à partir d'un certain rang et même limite des deux bornes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.