Bac 2025, Asie : exercice 3

Affirmation 1 : vraie.

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ se lit sur la représentation paramétrique (coefficients de $t$) :

Un vecteur normal au plan $P$ se lit sur son équation cartésienne $2x+3y+6z-6=0$ :

On a $6\times\dfrac13=2$, $6\times\dfrac12=3$ et $6\times 1=6$, donc $\vec{n}=6\,\vec{u}$.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires : le vecteur directeur de $(d)$ est normal à $P$, donc la droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$.

Pour $t=6$, le point de $(d)$ a pour coordonnées

c'est-à-dire H.

De plus, les coordonnées de H vérifient l'équation de $P$ :

Donc H appartient à $(d)$ et à $P$ : la droite $(d)$ coupe $P$ en H.

Donc l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : fausse.

On calcule les vecteurs coordonnée par coordonnée, avec C$(3\,;0\,;0)$, D$(0\,;2\,;0)$ et H$(-6\,;2\,;2)$ :

Le produit scalaire vaut

Les normes valent

Or $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CH}=CD\times CH\times\cos\widehat{DCH}$, donc

On en déduit, à la calculatrice (mode degrés),

La mesure arrondie au dixième est $24{,}3^\circ$ et non $17{,}3^\circ$.

Donc l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3 : vraie.

Les vecteurs normaux sont $\vec{n}(2\,;3\,;6)$ pour $P$ et $\vec{n}'(1\,;-2\,;3)$ pour $P'$.

Ils ne sont pas colinéaires : $\dfrac21=2$ alors que $\dfrac{3}{-2}=-1{,}5$, donc leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

Donc les plans $P$ et $P'$ ne sont pas parallèles : ils sont sécants, et leur intersection est une droite.

Soit $M(3-3t\,;0\,;t)$ un point de la droite $\Delta$, avec $t\in\mathbb{R}$.

On vérifie l'équation de $P$ :

On vérifie l'équation de $P'$ :

Donc tout point de $\Delta$ appartient à $P$ et à $P'$.

La représentation paramétrique donnée est celle d'une droite, de vecteur directeur $(-3\,;0\,;1)\neq\vec{0}$, contenue dans $P\cap P'$.

Or $P\cap P'$ est une droite : une droite contenue dans une droite lui est égale.

Donc $P\cap P'=\Delta$ et l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : vraie.

On a $\overrightarrow{CD}(-3\,;2\,;0)$.

On calcule

On a $\dfrac{31}{13}\times(-3)=-\dfrac{93}{13}$ et $\dfrac{31}{13}\times 2=\dfrac{62}{13}$, donc

Les vecteurs $\overrightarrow{CJ}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires : J appartient à la droite $(CD)$.

On calcule ensuite

Le produit scalaire avec $\overrightarrow{CD}$ vaut

Donc la droite $(JH)$ est orthogonale à la droite $(CD)$.

Le point J appartient à $(CD)$ et $(JH)\perp(CD)$ : J est le projeté orthogonal de H sur la droite $(CD)$.

Donc l'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

• Pour chaque affirmation, donner la valeur de vérité puis une preuve complète (une réponse non argumentée n'est pas prise en compte).

• Orthogonalité droite/plan : comparer un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan (colinéarité), et vérifier que le point d'intersection appartient aux deux objets.

• Angle : calculer les vecteurs, le produit scalaire et les normes, puis la formule du cosinus, et arrondir comme demandé.

• Intersection de deux plans : justifier la non-colinéarité des vecteurs normaux, puis vérifier que les points de $\Delta$ satisfont les deux équations.

• Projeté orthogonal : montrer à la fois l'appartenance de J à $(CD)$ et l'orthogonalité de $(JH)$ et $(CD)$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.