Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 3

Question 1.

L'énoncé donne directement :

• $2\,\%$ de la population a été contaminée : $P(C)=0{,}02$

• $90\,\%$ de la population a été vaccinée : $P(V)=0{,}9$

• $62\,\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées : $P_C(V)=0{,}62$.

Réponse : $P(C)=0{,}02$, $P(V)=0{,}9$ et $P_C(V)=0{,}62$.

Question 2. a)

D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle) :

Donc la probabilité qu'une personne soit à la fois contaminée et vaccinée est $0{,}0124$.

Réponse : $P(C\cap V)=0{,}0124$.

Question 2. b)

Les évènements $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

Donc

Donc la probabilité qu'une personne soit non contaminée et vaccinée est $0{,}8876$.

Réponse : $P(\overline{C}\cap V)=0{,}8876$.

Question 3.

On complète l'arbre (la figure fournie est un arbre à deux niveaux, dont les branches ne portent aucune valeur).

Premier niveau :

• $P(C)=0{,}02$

• $P(\overline{C})=1-0{,}02=0{,}98$.

Deuxième niveau, depuis $C$ :

• $P_C(V)=0{,}62$

• $P_C(\overline{V})=1-0{,}62=0{,}38$.

Deuxième niveau, depuis $\overline{C}$ :

Donc l'arbre complété porte les probabilités $0{,}02$ et $0{,}98$ au premier niveau, $0{,}62$ et $0{,}38$ depuis $C$, $0{,}9057$ et $0{,}0943$ depuis $\overline{C}$ (valeurs arrondies à $10^{-4}$).

Question 4.

Par définition de la probabilité conditionnelle, comme $P(V)=0{,}9\neq0$ :

Interprétation : parmi les personnes vaccinées, la proportion de personnes contaminées est d'environ $1{,}38\,\%$.

Donc la probabilité qu'une personne soit contaminée sachant qu'elle est vaccinée vaut environ $0{,}0138$.

Réponse : $P_V(C)\approx0{,}0138$.

Question 5. a) Faux.

Les évènements $\overline{C}\cap V$ et $\overline{C}\cap\overline{V}$ forment une partition de $\overline{C}$. Donc

Parmi les personnes non contaminées, le rapport du nombre de vaccinées à celui de non vaccinées est

Ce rapport n'est pas égal à $10$.

Donc l'affirmation est fausse : il y a environ $9{,}6$ fois plus de personnes vaccinées que de non vaccinées parmi les personnes non contaminées.

Question 5. b) Vrai.

La proportion de la population vaccinée qui n'a pas été contaminée est $P_V(\overline{C})$. Les évènements $C$ et $\overline{C}$ étant contraires :

On a $0{,}9862>0{,}98$.

Donc l'affirmation est vraie : plus de $98\,\%$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée.

Question 6. a)

On choisit $20$ personnes au hasard, avec assimilation à des tirages avec remise. Ces $20$ épreuves sont donc identiques et indépendantes.

Chaque épreuve n'a que deux issues : « la personne est contaminée » (succès), de probabilité $p=0{,}02$, ou « la personne n'est pas contaminée ».

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès lors de la répétition de $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $0{,}02$.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}02$, notée $\mathcal{B}(20\,;0{,}02)$.

Question 6. b)

Pour la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ :

Ici, avec $n=20$, $p=0{,}02$ et $k=4$ :

Donc la probabilité que exactement $4$ personnes soient contaminées dans ce groupe de $20$ personnes est environ $0{,}0006$, arrondie à $10^{-4}$.

Réponse : $P(X=4)\approx0{,}0006$.

Points clés attendus

• Distinguer $P(C\cap V)$ (probabilité composée) de $P_C(V)$ et de $P_V(C)$ (probabilités conditionnelles) et citer la formule utilisée.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{C,\overline{C}\}$.

• Vrai/faux : donner un calcul chiffré (rapport $9{,}6$ différent de $10$   $0{,}9862>0{,}98$) et non une simple affirmation.

• Loi binomiale : justifier la répétition de $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et donner $n$ et $p$.

• Respecter l'arrondi demandé ($10^{-4}$).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.