Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 1

21 mai 2025 · jour 1 · 6 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Pour accéder au réseau privé d'une entreprise depuis l'extérieur, les connexions des employés transitent aléatoirement via trois serveurs distants différents, notés A, B et C. Ces serveurs ont des caractéristiques techniques différentes et les connexions se répartissent de la manière suivante :

25 % des connexions transitent via le serveur A
15 % des connexions transitent via le serveur B
le reste des connexions s'effectue via le serveur C.

Les connexions à distance sont parfois instables et, lors du fonctionnement normal des serveurs, les utilisateurs peuvent subir des déconnexions pour différentes raisons (saturation des serveurs, débit internet insuffisant, attaques malveillantes, mises à jour de logiciels, etc.).

On dira qu'une connexion est stable si l'utilisateur ne subit pas de déconnexion après son identification aux serveurs. L'équipe de maintenance informatique a observé statistiquement que, dans le cadre d'un fonctionnement habituel des serveurs :

90 % des connexions via le serveur A sont stables
80 % des connexions via le serveur B sont stables
85 % des connexions via le serveur C sont stables.

Les parties A et B sont indépendantes l'une de l'autre et peuvent être traitées séparément.

Partie A

On s'intéresse au hasard à l'état d'une connexion effectuée par un employé de l'entreprise. On considère les évènements suivants :

$A$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur A »
$B$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur B »
$C$ : « La connexion s'est effectuée via le serveur C »
$S$ : « La connexion est stable ».

On note $\overline{S}$ l'évènement contraire de l'évènement $S$ .

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation de l'énoncé.
Démontrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à $0,12$ .
Calculer la probabilité $P\left(C \cap \overline{S}\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,855$ .
On suppose désormais que la connexion est stable.

Calculer la probabilité que la connexion ait eu lieu depuis le serveur B.

On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable est égale à $0,145$ .

Dans le but de détecter les dysfonctionnements de serveurs, on étudie un échantillon de 50 connexions au réseau, ces connexions étant choisies au hasard. On suppose que le nombre de connexions est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de connexions instables au réseau de l'entreprise, dans cet échantillon de 50 connexions.
1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
2. Donner la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables. On donnera la valeur arrondie au millième.
Dans cette question, on constitue désormais un échantillon de $n$ connexions, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. On note $X_{n}$ la variable aléatoire égale aux nombres de connexions instables et on admet que $X_{n}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et 0,145.
1. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'au moins une connexion de cet échantillon soit instable.
2. Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que la probabilité $p_{n}$ est supérieure ou égale à 0,99.
On s'intéresse à la variable aléatoire $F_{n}$ égale à la fréquence de connexions instables dans un échantillon de $n$ connexions, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On a donc $F_{n}=\dfrac{X_{n}}{n}$ , où $X_{n}$ est la variable aléatoire définie à la question 2.
1. Calculer l'espérance $E\left(F_{n}\right)$ .
  
  On admet que $V\left(F_{n}\right)=\dfrac{0,123975}{n}$ .
2. Vérifier que : $P\left(\left|F_{n}-0,145\right| \geqslant 0,1\right) \leqslant \dfrac{12,5}{n}$
3. Un responsable de l'entreprise étudie un échantillon de 1000 connexions et constate que pour cet échantillon $F_{1000}=0,3$ . II soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

D'après l'énoncé, 25 % des connexions passent par le serveur A et 15 % par le serveur B.

On a donc

P(A)=0{,}25\qquad\text{et}\qquad P(B)=0{,}15.

Le reste des connexions s'effectue via le serveur C, donc

P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0{,}25-0{,}15=0{,}6.

Les pourcentages de connexions stables selon le serveur se traduisent en probabilités conditionnelles :

$P_A(S)=0{,}9$ , donc $P_A(\overline{S})=1-0{,}9=0{,}1$
$P_B(S)=0{,}8$ , donc $P_B(\overline{S})=1-0{,}8=0{,}2$
$P_C(S)=0{,}85$ , donc $P_C(\overline{S})=1-0{,}85=0{,}15$ .

L'arbre pondéré comporte donc trois branches primaires, de poids $0{,}25$ (vers $A$ ), $0{,}15$ (vers $B$ ) et $0{,}6$ (vers $C$ ). De chacun de ces trois nœuds partent deux branches, vers $S$ et vers $\overline{S}$ , dont les poids sont ceux indiqués ci-dessus.

Question 2.

On cherche $P(B\cap S)$ .

D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle),

P(B\cap S)=P(B)\times P_B(S).

On obtient

P(B\cap S)=0{,}15\times 0{,}8=0{,}12.

Donc la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B est égale à $0{,}12$ .

Question 3.

D'après la formule des probabilités composées,

P\left(C\cap\overline{S}\right)=P(C)\times P_C\left(\overline{S}\right).

On obtient

P\left(C\cap\overline{S}\right)=0{,}6\times 0{,}15=0{,}09.

Interprétation : la probabilité qu'une connexion transite par le serveur C et soit instable est égale à $0{,}09$ . Autrement dit, $9\,\%$ de l'ensemble des connexions sont des connexions instables passant par le serveur C.

Réponse : $P\left(C\cap\overline{S}\right)=0{,}09$ .

Question 4.

Les évènements $A$ , $B$ et $C$ sont deux à deux incompatibles (une connexion transite par un seul serveur) et leur réunion est l'univers entier : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)+P(C\cap S).

On calcule chaque terme :

$P(A\cap S)=P(A)\times P_A(S)=0{,}25\times 0{,}9=0{,}225$
$P(B\cap S)=0{,}12$ d'après la question 2
$P(C\cap S)=P(C)\times P_C(S)=0{,}6\times 0{,}85=0{,}51$ .

Donc

P(S)=0{,}225+0{,}12+0{,}51=0{,}855.

Ainsi la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S)=0{,}855$ .

Question 5.

On cherche la probabilité de $B$ sachant $S$ . L'évènement $S$ a une probabilité non nulle, donc, par définition de la probabilité conditionnelle,

P_S(B)=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}855}.

À la calculatrice,

P_S(B)\approx 0{,}140\quad\text{(arrondie au millième).}

Donc, sachant que la connexion est stable, la probabilité qu'elle ait eu lieu depuis le serveur B est d'environ $0{,}140$ .

Réponse : $P_S(B)=\dfrac{0{,}12}{0{,}855}\approx 0{,}140$ .

Partie B

Question 1. a)

On considère les 50 connexions choisies au hasard. Le choix est assimilé à un tirage avec remise, donc ces 50 épreuves sont identiques et indépendantes.

Chaque épreuve n'a que deux issues : « la connexion est instable » (succès), de probabilité $p=0{,}145$ , ou « la connexion est stable ». C'est une épreuve de Bernoulli.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans la répétition de $50$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $0{,}145$ .

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0{,}145$ .

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(50\,;0{,}145)$ .

Question 1. b)

On cherche $P(X\leqslant 8)$ .

À la calculatrice, avec la loi binomiale de paramètres $50$ et $0{,}145$ ,

P(X\leqslant 8)\approx 0{,}704\quad\text{(arrondie au millième).}

Donc la probabilité qu'au plus huit connexions soient instables dans l'échantillon est d'environ $0{,}704$ .

Réponse : $P(X\leqslant 8)\approx 0{,}704$ .

Question 2. a)

L'évènement « au moins une connexion de l'échantillon est instable » a pour évènement contraire « aucune connexion n'est instable », c'est-à-dire $\{X_n=0\}$ .

Comme $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}145$ ,

P(X_n=0)=\binom{n}{0}\times 0{,}145^0\times(1-0{,}145)^n=0{,}855^n.

Donc

p_n=P(X_n\geqslant 1)=1-P(X_n=0)=1-0{,}855^n.

Réponse : $p_n=1-0{,}855^n$ .

Question 2. b)

On résout l'inéquation $p_n\geqslant 0{,}99$ :

\begin{aligned} 1-0{,}855^n\geqslant 0{,}99 &\iff 0{,}855^n\leqslant 0{,}01. \end{aligned}

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ : on l'applique aux deux membres, qui sont strictement positifs, en conservant le sens de l'inégalité.

0{,}855^n\leqslant 0{,}01\iff n\ln(0{,}855)\leqslant\ln(0{,}01).

Comme $0<0{,}855<1$ , on a $\ln(0{,}855)<0$ . En divisant par ce nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité change :

n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}.

À la calculatrice,

\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}855)}\approx 29{,}4.

Le plus petit entier naturel $n$ vérifiant $n\geqslant 29{,}4$ est $n=30$ .

Vérification : $0{,}855^{29}\approx 0{,}0106>0{,}01$ et $0{,}855^{30}\approx 0{,}0091\leqslant 0{,}01$ .

Donc la plus petite valeur de $n$ telle que $p_n\geqslant 0{,}99$ est $30$ .

Réponse : $n=30$ .

Question 3. a)

La variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}145$ , donc son espérance est

E(X_n)=n\times 0{,}145.

Par linéarité de l'espérance, avec $F_n=\dfrac{1}{n}X_n$ ,

E(F_n)=\dfrac{1}{n}E(X_n)=\dfrac{0{,}145\,n}{n}=0{,}145.

Donc l'espérance de la fréquence $F_n$ est $0{,}145$ , quel que soit $n$ .

Réponse : $E(F_n)=0{,}145$ .

Question 3. b)

La variable aléatoire $F_n$ admet une espérance $E(F_n)=0{,}145$ et une variance $V(F_n)=\dfrac{0{,}123975}{n}$ (admise).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit, pour tout réel $\delta>0$ ,

P\left(\left|F_n-E(F_n)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(F_n)}{\delta^2}.

On l'applique avec $\delta=0{,}1$ :

P\left(\left|F_n-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{0{,}123975}{n\times 0{,}1^2}=\dfrac{0{,}123975}{0{,}01\,n}=\dfrac{12{,}3975}{n}.

Or $12{,}3975\leqslant 12{,}5$ et $n>0$ , donc $\dfrac{12{,}3975}{n}\leqslant\dfrac{12{,}5}{n}$ .

On en déduit

P\left(\left|F_n-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}{n}.

Question 3. c)

Pour $n=1000$ , la majoration précédente donne

P\left(\left|F_{1000}-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}{1000}=0{,}0125.

Pour l'échantillon observé, $F_{1000}=0{,}3$ , donc

\left|0{,}3-0{,}145\right|=0{,}155\geqslant 0{,}1.

La fréquence observée appartient donc à l'évènement $\left\{\left|F_{1000}-0{,}145\right|\geqslant 0{,}1\right\}$ , dont la probabilité est inférieure ou égale à $0{,}0125$ , soit $1{,}25\,\%$ , si la proportion de connexions instables est bien $0{,}145$ .

Une telle fréquence est donc très peu probable dans les conditions de fonctionnement habituel. Le responsable a raison de soupçonner un dysfonctionnement des serveurs.

Points clés attendus

Traduire les données en probabilités conditionnelles et utiliser la formule des probabilités composées, puis la formule des probabilités totales en citant la partition $A$ , $B$ , $C$ .
Justifier la loi binomiale : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}145$ .
Pour le seuil, passer par l'évènement contraire, puis résoudre avec le logarithme en changeant le sens de l'inégalité (division par $\ln(0{,}855)<0$ ).
Citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec l'espérance, la variance et $\delta=0{,}1$ .
Conclure en contexte dans la dernière question en comparant l'écart observé $0{,}155$ à $0{,}1$ et la borne $0{,}0125$ .

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Amérique du Nord, 21 mai 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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