Bac 2024, Polynésie : exercice 3

Question 1.

Les quatre étages d'une pyramide de $4$ étages comptent respectivement $1$, $4$, $9$ et $16$ boules ($u_n=n^2$).

Le nombre total de boules est donc

Donc une pyramide de $4$ étages est composée de $30$ boules.

Réponse : $30$ boules.

Question 2.

a) Par définition, $S_5=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5$, donc

Le terme $S_5$ est la somme des nombres de boules des $5$ premiers étages en partant du haut : $S_5$ est le nombre total de boules d'une pyramide de $5$ étages.

Réponse : $S_5=55$ : une pyramide de $5$ étages contient $55$ boules.

b) Dans la boucle, la variable i prend les valeurs $1{,}2,\ldots,n$. À chaque tour, on doit ajouter à S le nombre de boules de l'étage i, soit $i^2$, qui s'écrit i**2 en Python. À la fin de la boucle, S contient $u_1+\cdots+u_n=S_n$, qu'il faut renvoyer.

Le code complété est :

def pyramide(n) :
    S = 0
    for i in range(1, n+1) :
        S = S + i**2
    return S

Donc S = S + i**2 et return S : l'instruction pyramide(n) renvoie bien $S_n$.

c) Notons $A$ le membre de gauche. On factorise par $\dfrac{n+1}{6}$, en écrivant $(n+1)^2=\dfrac{6(n+1)(n+1)}{6}$ :

On développe le crochet :

On factorise ce trinôme : $(n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$.

Comme $2(n+1)+1=2n+3$, on obtient

Donc l'égalité demandée est vérifiée pour tout entier naturel $n$.

d) Pour tout entier $n\geqslant1$, on note $P(n)$ la propriété $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Initialisation. On a $S_1=u_1=1$ et $\dfrac{1\times2\times3}{6}=1$. Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant1$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $S_k=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$ : $S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)\left[2(k+1)+1\right]}{6}$.

Par définition de $S_{k+1}$, on a $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=S_k+(k+1)^2$.

On utilise l'hypothèse de récurrence :

D'après la question précédente (avec $n=k$) :

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant1$, $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Question 3.

Une pyramide de $n$ étages utilise $S_n$ oranges. On cherche le plus grand entier $n$ tel que $S_n\leqslant200$.

La suite $\left(S_n\right)$ est strictement croissante, car $S_{n+1}-S_n=(n+1)^2>0$. Il suffit donc de repérer le moment où elle dépasse $200$.

D'après la formule de la question 2. d) :

Pour $n\leqslant7$, $S_n\leqslant S_7\leqslant200$, et pour $n\geqslant8$, $S_n\geqslant S_8>200$. Donc le plus grand $n$ convenable est $n=7$.

Donc la plus grande pyramide possible a $7$ étages et utilise $140$ oranges.

Réponse : $140$ oranges (pyramide de $7$ étages).

Points clés attendus

• Question 2. b) : S = S + i**2 et return S (et non return i), avec justification du rôle de la variable S.

• Question 2. c) : conduire le calcul algébrique jusqu'à l'égalité exacte demandée.

• Question 2. d) : rédiger Initialisation, Hérédité avec l'hypothèse de récurrence énoncée, Conclusion, en utilisant le résultat de la question 2. c).

• Question 3 : utiliser la croissance de $\left(S_n\right)$ et encadrer $200$ entre $S_7$ et $S_8$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.