Bac 2024, Polynésie : exercice 4

Question 1.

Dans le repère $\left(\text{A}\,;\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right)$, on a A$(0\,;0\,;0)$, B$(1\,;0\,;0)$, D$(0\,;1\,;0)$ et E$(0\,;0\,;1)$. Le point C vérifie $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}$ (ABCD est un carré), donc C$(1\,;1\,;0)$.

Donc E$(0\,;0\,;1)$ et C$(1\,;1\,;0)$.

Réponse : E$(0\,;0\,;1)$ et C$(1\,;1\,;0)$.

Question 2.

Pour $m=0$, les points sont K$(0\,;0\,;0)=$A et L$(1\,;1\,;1)=$G, avec G$(1\,;1\,;1)$. Le plan (LEK) est le plan (GEA).

a) On calcule deux vecteurs du plan (GEA) :

Ils ne sont pas colinéaires : $\overrightarrow{AE}$ a ses deux premières coordonnées nulles, pas $\overrightarrow{AG}$, et $\overrightarrow{AG}\neq\vec 0$.

Le vecteur $\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix}1-0\\0-1\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est non nul. On calcule ses produits scalaires :

Le vecteur $\overrightarrow{DB}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (GEA).

Donc $\overrightarrow{DB}$ est un vecteur normal au plan (GEA).

b) Le plan (GEA) a pour vecteur normal $\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ : il admet une équation de la forme $x-y+d=0$.

Il contient A$(0\,;0\,;0)$, donc $0-0+d=0$, soit $d=0$.

Vérification avec les autres points : pour E$(0\,;0\,;1)$, $0-0=0$   pour G$(1\,;1\,;1)$, $1-1=0$.

Donc une équation cartésienne du plan (GEA) est $x-y=0$.

Réponse : (GEA) $:\ x-y=0$.

Question 3.

a) On calcule, pour $m\in[0\,;1]$, avec C$(1\,;1\,;0)$, K$(m\,;0\,;0)$, E$(0\,;0\,;1)$ et L$(1-m\,;1\,;1)$ :

Donc $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{LE}$.

Un quadrilatère CKEL tel que $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{LE}$ est un parallélogramme.

Donc CKEL est un parallélogramme.

b) On calcule les coordonnées des vecteurs :

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire s'obtient avec les coordonnées :

Donc $\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{KE}=m(m-1)$.

c) CKEL est un parallélogramme (question 3. a)). Un parallélogramme est un rectangle si, et seulement si, il possède un angle droit. En particulier, CKEL est un rectangle si, et seulement si, l'angle en K est droit, c'est-à-dire si, et seulement si, $\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{KE}=0$ (les vecteurs $\overrightarrow{KC}$ et $\overrightarrow{KE}$ sont non nuls, car leurs troisième et deuxième coordonnées respectives valent $1$).

D'après la question précédente, cela équivaut à $m(m-1)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul : $m=0$ ou $m=1$. Ces deux valeurs appartiennent à $[0\,;1]$.

Donc CKEL est un rectangle si, et seulement si, $m=0$ ou $m=1$.

Question 4.

Pour $m=\dfrac12$, on a K$\left(\dfrac12\,;0\,;0\right)$ et L$\left(\dfrac12\,;1\,;1\right)$.

a) D'après la question 3. b), avec $m=\dfrac12$ :

Le repère étant orthonormé, on calcule les longueurs :

Donc $KC=KE$ : le parallélogramme CKEL a deux côtés consécutifs de même longueur.

Donc CKEL est un losange.

b) D'après la question 3. b) avec $m=\dfrac12$ :

Par ailleurs, par définition du produit scalaire :

On en déduit

L'angle $\widehat{CKE}$ est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$, donc

Donc l'angle $\widehat{CKE}$ mesure environ $102^\circ$ au degré près.

Réponse : $\cos\widehat{CKE}=-\dfrac15$ et $\widehat{CKE}\approx102^\circ$.

Points clés attendus

• Question 2 : deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires du plan, puis équation avec un point et vérification avec les autres.

• Question 3. a) : l'égalité vectorielle $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{LE}$ suffit à conclure.

• Question 3. c) : un parallélogramme est un rectangle si et seulement si un angle est droit, donc produit scalaire nul, puis résolution de $m(m-1)=0$.

• Question 4. a) : deux côtés consécutifs de même longueur dans un parallélogramme donnent un losange.

• Question 4. b) : exprimer le produit scalaire de deux façons (coordonnées et cosinus) pour en déduire $\cos\widehat{CKE}$, puis arccos à la calculatrice.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.