Bac 2024, Métropole : exercice 3

Affirmation 1. Vraie.

Soit $n\in\mathbb{N}$. On exprime $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ :

Donc pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=-0{,}8\,w_n$.

Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $-0{,}8$.

Affirmation 2. Vraie.

Pour tout entier $n\geqslant1$, on a $3n-4\leqslant S_n\leqslant3n+4$. On divise chaque membre par $n>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac4n=0$, donc

La suite $(u_n)$ est encadrée, à partir du rang $1$, par deux suites qui convergent vers la même limite $3$. D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge, et sa limite est $3$.

Donc l'affirmation est vraie.

Affirmation 3. Vraie.

Montrons par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant1$, $\mathcal{P}(n)$ : $v_n=\dfrac{n+1}{n}$.

Initialisation. Pour $n=1$ : $v_1=2$ et $\dfrac{1+1}{1}=2$. Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k\geqslant1$ fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $v_k=\dfrac{k+1}{k}$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$.

On a $v_k=\dfrac{k+1}{k}\neq0$, donc $v_{k+1}$ est bien défini, et

C'est l'égalité $v_{k+1}=\dfrac{(k+1)+1}{k+1}$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant1$, $v_n=\dfrac{n+1}{n}$.

Donc l'affirmation est vraie.

Affirmation 4. Fausse.

Pour $n\geqslant1$, on met $n$ en facteur :

Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^n}{n}=+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^n}{n}-1\right)=+\infty$.

Par produit de limites, avec $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$ :

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ : elle ne converge pas.

Donc l'affirmation est fausse.

Affirmation 5. Vraie.

Le script définit $u_0=2$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac2{u_n}\right)$ : chaque passage dans la boucle for applique cette relation.

Convergence. La suite $(u_n)$ est décroissante (propriété admise) et minorée par $\sqrt2$ (propriété admise). D'après le théorème de convergence monotone (suite décroissante et minorée), elle converge vers un réel $\ell$.

Encadrement de $\ell$. Pour tout $n$, $\sqrt2\leqslant u_n\leqslant2$. Par passage à la limite dans les inégalités larges, $\sqrt2\leqslant\ell\leqslant2$. En particulier $\ell>0$.

Équation vérifiée par $\ell$. La fonction $g:x\mapsto\dfrac12\left(x+\dfrac2x\right)$ est continue sur $[\sqrt2\;;\;2]$ (sur cet intervalle $x\neq0$), et $u_{n+1}=g(u_n)$. Quand $n\to+\infty$, $u_n\to\ell$ et $u_{n+1}\to\ell$, donc par continuité de $g$ en $\ell$ :

On résout cette équation (avec $\ell>0$) :

Comme $\ell>0$, on obtient $\ell=\sqrt2$.

Donc l'affirmation est vraie : la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt2$.

Points clés attendus

• Pour une suite géométrique, montrer que $w_{n+1}=q\,w_n$ avec $q$ constant, et préciser la raison.

• Théorème des gendarmes : donner un encadrement valable pour tout $n\geqslant1$, avec les deux limites égales.

• Récurrence rédigée complètement (initialisation, hérédité avec hypothèse, conclusion).

• Croissances comparées pour lever la forme indéterminée $\mathrm{e}^n-n$, puis conclure à la divergence.

• Théorème de convergence monotone, puis passage à la limite dans la relation de récurrence en justifiant la continuité, et rejet de la solution négative de $\ell^2=2$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.