Bac 2024, Polynésie : exercice 1

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités :

• $60\,\%$ des personnes ont l'intention de regarder les JOP : $P(J)=0{,}6=\dfrac35$

• parmi celles qui ont cette intention, $8$ sur $9$ pratiquent une activité sportive régulière : $P_J(S)=\dfrac89$.

On cherche $P(J\cap S)$. D'après la formule des probabilités composées (définition de la probabilité conditionnelle) :

On remplace par les valeurs :

On simplifie la fraction par $3$ :

Donc la probabilité que la personne choisie ait l'intention de regarder les JOP à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est bien $\dfrac{8}{15}$.

Question 2.

On sait que deux personnes sur trois déclarent pratiquer une activité sportive régulière, donc $P(S)=\dfrac23$.

a) Les évènements $J$ et $\overline{J}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier). D'après la formule des probabilités totales :

On en déduit :

On remplace par les valeurs, avec $P(J\cap S)=\dfrac{8}{15}$ d'après la question 1 :

Donc la probabilité que la personne choisie n'ait pas l'intention de regarder les JOP à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est $\dfrac{2}{15}$.

Réponse : $P\left(\overline{J}\cap S\right)=\dfrac{2}{15}$.

b) Calculons d'abord la probabilité de l'évènement contraire :

Cette probabilité est non nulle : on peut donc utiliser la définition de la probabilité conditionnelle :

On remplace par les valeurs :

Donc, parmi les personnes qui n'ont pas l'intention de regarder les JOP à la télévision, la probabilité de pratiquer une activité sportive régulière est $\dfrac13$.

Réponse : $P_{\overline{J}}(S)=\dfrac13$.

Question 3.

a) On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une personne de plus de $15$ ans, le succès étant « la personne déclare pratiquer une activité sportive régulière », de probabilité $P(S)=\dfrac23$.

Les $30$ personnes sont choisies avec remise : on répète donc cette épreuve $30$ fois de façon identique et indépendante.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac23$.

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(30\,;\,\dfrac23\right)$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}\left(30\,;\,\dfrac23\right)$.

b) Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, on a $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Ici :

À la calculatrice, on obtient $0{,}0462\ldots$ donc, arrondie au millième :

Donc la probabilité qu'exactement $16$ personnes sur les $30$ déclarent pratiquer une activité sportive régulière est environ $0{,}046$.

Réponse : $P(X=16)\approx 0{,}046$.

c) Si $k$ personnes parmi les $30$ déclarent pratiquer une activité sportive régulière, le coût de l'opération est $380\,k$ euros.

Le budget est insuffisant si et seulement si

Comme $k$ est un entier, cela équivaut à $k\geqslant 27$. (Vérification : $380\times26=9\,880\leqslant 10\,000$ et $380\times27=10\,260>10\,000$.)

On cherche donc $P(X\geqslant 27)$. Par passage à l'évènement contraire :

À la calculatrice, $P(X\leqslant 26)\approx 0{,}9967$, donc, arrondie au millième :

Donc la probabilité que le budget de $10\,000$ euros soit insuffisant est environ $0{,}003$.

Réponse : $P(X\geqslant 27)\approx 0{,}003$.

Points clés attendus

• Traduire les données en $P(J)$ et $P_J(S)$, puis citer la formule des probabilités composées.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{J\,;\overline{J}\}$ pour obtenir $P\left(\overline{J}\cap S\right)$.

• Justifier la loi binomiale : $30$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), de probabilité de succès $\dfrac23$.

• Convertir la condition de budget en $X\geqslant 27$ avant de calculer, puis passer par l'évènement contraire.

• Respecter l'arrondi au millième et conclure par une phrase en contexte.

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