Bac 2024, Polynésie : exercice 3

Question 1.

a) On a $u_0=8$.

Pour $n=0$ : $u_1=u_0-\ln\left(\dfrac{u_0}{4}\right)=8-\ln 2\approx 7{,}31$.

Pour $n=1$ : $u_2=u_1-\ln\left(\dfrac{u_1}{4}\right)\approx 7{,}3069-\ln(1{,}8267)\approx 6{,}70$.

Donc, arrondis au centième, $u_1\approx 7{,}31$ et $u_2\approx 6{,}70$.

Réponse : $u_1\approx 7{,}31$ et $u_2\approx 6{,}70$.

b) Avant la boucle, u vaut $u_0=8$ et S vaut $0$.

À chaque passage dans la boucle, on exécute d'abord S = S + u, qui ajoute à S la valeur courante de u, puis u = u - log(u / 4), qui remplace u par le terme suivant de la suite.

Au passage numéro $i+1$ (pour $i$ allant de $0$ à $k-1$), S reçoit donc $u_i$.

Après $k=10$ passages, S contient donc $u_0+u_1+\cdots+u_9$.

Donc le résultat 58.44045206721732 est la somme des dix premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$, de $u_0$ à $u_9$ :

c) La moyenne des $k$ premiers termes $u_0,\ldots,u_{k-1}$ est la somme de ces termes divisée par $k$. Il suffit donc de renvoyer S / k au lieu de S :

def mystere(k) :
    u = 8
    S = 0
    for i in range(k) :
        S = S + u
        u = u - log(u / 4)
    return S / k

Donc l'instruction return S / k permet de renvoyer la moyenne des $k$ premiers termes. Pour $k=10$, la fonction renverrait $5{,}844\ldots$

Question 2.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x-\ln\left(\dfrac x4\right)$.

Pour $x>0$, on a $f(x)=x-\ln x+\ln 4$, donc, en dérivant (la dérivée de $\ln$ est $x\mapsto\dfrac1x$ et $\ln 4$ est constant) :

Étudions le signe de $f'(x)$. Pour tout $x>0$, le dénominateur $x$ est strictement positif : $f'(x)$ est donc du signe de $x-1$.

• Si $0<x<1$, alors $x-1<0$ donc $f'(x)<0$.

• Si $x=1$, alors $f'(1)=0$.

• Si $x>1$, alors $x-1>0$ donc $f'(x)>0$.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Elle admet un minimum en $x=1$, de valeur

Tableau de variations : $f$ décroît de $f(0^+)$ jusqu'à $f(1)=1+\ln4$ sur $]0\,;1]$, puis croît de $1+\ln 4$ vers $+\infty$ sur $[1\,;+\infty[$.

Donc le minimum de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ est $1+\ln 4$, atteint en $x=1$.

Réponse : minimum $f(1)=1+\ln 4$.

Question 3.

a) Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.

Initialisation. On a $u_0=8$ et $u_1=8-\ln 2\approx 7{,}31$. Donc $1\leqslant u_1\leqslant u_0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ fixé dans $\mathbb{N}$ tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $1\leqslant u_{k+1}\leqslant u_k$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$ : $1\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$.

D'après la question 2, la fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. Les réels $u_{k+1}$ et $u_k$ appartiennent à cet intervalle : on peut appliquer $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Comme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ pour tout $n$ et $f(1)=1+\ln 4$, on obtient

De plus $\ln 4>0$, donc $1\leqslant 1+\ln 4$. On en déduit

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.

b) D'après la question précédente, $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

Toujours d'après la question précédente, $u_n\geqslant 1$ pour tout $n\geqslant 1$, et $u_0=8\geqslant 1$ : la suite est minorée par $1$.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle $\ell$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge.

c) Soit $x>0$. On a

Or $\ln y=0\iff y=1$ pour $y>0$. Donc

Donc l'équation $f(x)=x$ admet pour unique solution $x=4$.

Réponse : $x=4$.

d) La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$, et $u_n\geqslant 1$ pour tout $n$, donc par passage à la limite dans une inégalité large $\ell\geqslant 1$ : $\ell$ appartient à $]0\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est continue sur $]0\,;+\infty[$ (elle y est dérivable), et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ pour tout $n$.

Quand $n$ tend vers $+\infty$, $u_{n+1}$ tend vers $\ell$ et, par continuité de $f$ en $\ell$, $f\left(u_n\right)$ tend vers $f(\ell)$. Par unicité de la limite, $\ell=f(\ell)$.

Donc $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$. D'après la question précédente, $\ell=4$.

Réponse : $\ell=4$.

Points clés attendus

• Question 1 : expliquer précisément ce que contient S après $k$ passages (de $u_0$ à $u_{k-1}$) et diviser par $k$ pour la moyenne.

• Question 2 : dériver, étudier le signe de $f'$ en justifiant $x>0$, donner la valeur exacte du minimum.

• Question 3. a) : rédiger la récurrence complète en citant la croissance de $f$ sur $[1\,;+\infty[$ et en vérifiant que $u_k$ et $u_{k+1}$ sont dans cet intervalle.

• Question 3. b) : citer le théorème de convergence monotone avec ses deux hypothèses (décroissance, minoration).

• Question 3. d) : justifier le passage à la limite par la continuité de $f$ et utiliser la résolution de $f(x)=x$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.