Bac 2024, Polynésie : exercice 2

Question 1. Réponse B.

L'équation $y'=-3y+7$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=7$.

Ses solutions sont les fonctions

La condition $f(0)=1$ donne

Donc $f(x)=-\dfrac43\mathrm{e}^{-3x}+\dfrac73$.

Les autres propositions sont à écarter :

• A : $f(x)=\mathrm{e}^{-3x}$ donne $f'(x)=-3f(x)\neq -3f(x)+7$, donc $f$ n'est pas solution

• C : $f(0)=1+\dfrac73=\dfrac{10}{3}\neq 1$

• D : $f(0)=-\dfrac{10}{3}-\dfrac73=-\dfrac{17}{3}\neq 1$.

Donc la solution cherchée est la fonction de la proposition B.

Question 2. Réponse C.

Sur $[1\,;5]$, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses : $f$ est positive, donc $I$ est l'aire du domaine situé sous la courbe, entre les droites d'équations $x=1$ et $x=5$ (en unités d'aire).

On encadre $f$ par des valeurs lues sur le graphique, intervalle par intervalle de longueur $1$.

Minoration (lecture graphique) :

• sur $[1\,;2]$, $f\geqslant 3$

• sur $[2\,;3]$, $f\geqslant 2$

• sur $[3\,;4]$, $f\geqslant 1$

• sur $[4\,;5]$, $f\geqslant 0$.

Par positivité et croissance de l'intégrale, puis relation de Chasles :

Majoration (lecture graphique) :

• sur $[1\,;2]$, $f\leqslant 3{,}3$ (le maximum de la courbe est un peu supérieur à $3{,}2$)

• sur $[2\,;3]$, $f\leqslant 3$

• sur $[3\,;4]$, $f\leqslant 2$

• sur $[4\,;5]$, $f\leqslant 1$.

On en déduit :

Donc $6\leqslant I\leqslant 9{,}3$, et par suite $5\leqslant I\leqslant 10$.

Les autres encadrements sont incompatibles avec $6\leqslant I\leqslant 9{,}3$ : A impose $I\leqslant 4$, B impose $I\leqslant 5$, D impose $I\geqslant 10$.

Question 3. Réponse B.

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, car $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto\ln\left(x^2+4\right)$ le sont ($x^2+4>0$ pour tout réel $x$). Sa dérivée $g'$ est continue sur $[0\,;2]$.

On peut donc utiliser le théorème fondamental de l'analyse :

On calcule :

Donc

Les autres valeurs proposées ne correspondent pas à ce résultat : la valeur exacte vaut $8{,}317\ldots$

Question 4. Réponse D.

Former un groupe de $5$ élèves parmi $31$ revient à choisir une partie de $5$ éléments d'un ensemble de $31$ éléments : l'ordre des élèves ne compte pas et un élève ne peut pas figurer deux fois dans le groupe.

Le nombre de groupes est donc le nombre de combinaisons de $5$ éléments parmi $31$ :

Les autres propositions sont à écarter : $31^5$ compte des listes avec répétition, et $31\times30\times29\times28\times27$ compte des listes ordonnées (arrangements), ce qui distingue à tort deux groupes formés des mêmes élèves.

Question 5. Réponse A.

Un groupe de $5$ élèves comportant exactement $3$ élèves de SES se construit en deux étapes :

• on choisit $3$ élèves parmi les $20$ élèves de SES : $\dbinom{20}{3}$ possibilités

• on choisit les $2$ autres élèves parmi ceux qui ne sont pas en SES, c'est-à-dire parmi $10+1=11$ élèves : $\dbinom{11}{2}$ possibilités.

D'après le principe multiplicatif, le nombre de groupes est

Une somme (proposition B) serait inadaptée, car les deux choix se combinent. La proposition C ignore les $2$ autres élèves, et la proposition D compte des listes avec répétition.

Points clés attendus

• Question 1 : savoir résoudre $y'=ay+b$ (solution particulière $-\dfrac{b}{a}$) et utiliser la condition initiale.

• Question 2 : encadrer l'intégrale d'une fonction positive par des aires de rectangles lues sur le graphique.

• Question 3 : reconnaître qu'on intègre une dérivée, donc que $\displaystyle\int_0^2 g'=g(2)-g(0)$.

• Questions 4 et 5 : distinguer combinaisons, arrangements et listes avec répétition, et utiliser le principe multiplicatif.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.