Bac 2024, Polynésie : exercice 1

Affirmation 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OC}$ :

On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ :

Le vecteur $\vec{n}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{OC}$, qui est un vecteur du plan (OAC). Il n'est donc pas orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

Donc $\vec{n}$ n'est pas normal au plan (OAC) : l'affirmation 1 est fausse.

Réponse : fausse.

Affirmation 2.

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

On a $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés et C appartient à la droite (AB).

Pour $t=-2$, la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ donne

Donc C$(5\,;0\,;-3)$ appartient à $\mathcal{D}$.

Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de (AB) est $\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$. Ils ne sont pas colinéaires : si $\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$, la deuxième coordonnée donne $k=1$ et la première $k=3$, ce qui est impossible. Les droites $\mathcal{D}$ et (AB) ne sont donc pas parallèles.

Les droites $\mathcal{D}$ et (AB) ne sont pas parallèles et ont le point C en commun.

Donc elles sont sécantes en C : l'affirmation 2 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 3.

Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation $x+5y-2z+3=0$ : le vecteur $\vec{n}_{\mathcal{P}}\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

La droite $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vec{d}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$. On calcule

Le vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est orthogonal à un vecteur normal de $\mathcal{P}$ : la droite $\mathcal{D}$ est donc parallèle au plan $\mathcal{P}$ (elle est soit contenue dans $\mathcal{P}$, soit disjointe de $\mathcal{P}$).

Pour savoir si elle est contenue dans $\mathcal{P}$, on teste le point C$(5\,;0\,;-3)$ de $\mathcal{D}$ :

Donc C n'appartient pas à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ n'est pas contenue dans $\mathcal{P}$.

Donc la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ (strictement) : l'affirmation 3 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 4.

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$ :

Le plan médiateur $Q$ de [BC] est perpendiculaire à (BC) : le vecteur $\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$, colinéaire à $\overrightarrow{BC}$, est un vecteur normal à $Q$. Une équation de $Q$ est donc de la forme $3x-y-2z+d=0$.

Le plan $Q$ passe par le milieu $I$ de [BC] :

Les coordonnées de $I$ vérifient l'équation de $Q$ :

Une équation cartésienne de $Q$ est donc $3x-y-2z-7=0$, ce qui est l'équation proposée.

Donc l'affirmation 4 est vraie.

Réponse : vraie.

Points clés attendus

• Pour un vecteur normal : il doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan   un seul produit scalaire non nul suffit pour réfuter.

• Pour des droites sécantes : montrer à la fois la non-colinéarité des vecteurs directeurs et l'existence d'un point commun.

• Pour le parallélisme d'une droite et d'un plan : produit scalaire nul entre vecteur directeur et vecteur normal, puis tester un point de la droite pour exclure l'inclusion.

• Pour le plan médiateur : vecteur normal $\overrightarrow{BC}$ (ou un multiple), milieu de [BC], et détermination de la constante de l'équation.

• Chaque réponse « vraie » ou « fausse » doit être justifiée, sinon elle ne rapporte aucun point.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.