Bac 2024, Métropole : exercice 1

Question 1.

Le solide ABCDEFGH est un cube d'arête $\text{AB}=4$, avec A$(0\;;\;0\;;\;0)$, B$(4\;;\;0\;;\;0)$, D$(0\;;\;4\;;\;0)$ et E$(0\;;\;0\;;\;4)$.

Dans un cube, ABCD est un carré, donc $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}$.

De même, ABFE est un carré, donc $\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}$, et ADHE est un carré, donc $\overrightarrow{\text{AH}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{AE}}$.

Enfin $\overrightarrow{\text{AG}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{AE}}$.

Avec $\overrightarrow{\text{AB}}(4\;;\;0\;;\;0)$, $\overrightarrow{\text{AD}}(0\;;\;4\;;\;0)$ et $\overrightarrow{\text{AE}}(0\;;\;0\;;\;4)$, on obtient, coordonnée par coordonnée :

Donc les coordonnées de C, F, G et H sont celles données ci-dessus.

Réponse : C$(4\;;\;4\;;\;0)$, F$(4\;;\;0\;;\;4)$, G$(4\;;\;4\;;\;4)$, H$(0\;;\;4\;;\;4)$.

Question 2.

Le point I est le milieu de $[\text{EF}]$ avec E$(0\;;\;0\;;\;4)$ et F$(4\;;\;0\;;\;4)$.

On calcule le vecteur

Ce vecteur est non nul : il dirige la droite (IC).

La droite (IC) passe par I$(2\;;\;0\;;\;4)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\text{IC}}(2\;;\;4\;;\;-4)$.

Un point $M(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à (IC) si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\text{IM}}=t\,\overrightarrow{\text{IC}}$, c'est-à-dire

Donc une représentation paramétrique de la droite (IC) est bien celle de l'énoncé.

Question 3.

a) Le plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à la droite (IC), donc le vecteur $\overrightarrow{\text{IC}}(2\;;\;4\;;\;-4)$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Le vecteur $\vec{n}=\dfrac12\overrightarrow{\text{IC}}=(1\;;\;2\;;\;-2)$ est colinéaire à $\overrightarrow{\text{IC}}$, donc c'est aussi un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc de la forme

Le point G$(4\;;\;4\;;\;4)$ appartient à $\mathcal{P}$, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Donc une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est

b) Le point J est l'intersection de $\mathcal{P}$ et de (IC) : ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de (IC) et l'équation de $\mathcal{P}$.

On remplace $x$, $y$, $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ :

On remplace $t=\dfrac59$ dans la représentation paramétrique :

Donc J a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9}\;;\;\dfrac{20}{9}\;;\;\dfrac{16}{9}\right)$.

Le point C n'appartient pas à $\mathcal{P}$, car $4+2\times4-2\times0-4=8\neq0$.

La droite (IC) passe par C, est orthogonale à $\mathcal{P}$ et coupe $\mathcal{P}$ en J.

Donc J est le projeté orthogonal de C sur le plan $\mathcal{P}$.

c) Pour K$(0\;;\;2\;;\;0)$ :

Donc les coordonnées de K vérifient l'équation de $\mathcal{P}$ : le point K appartient à $\mathcal{P}$.

d) Les points A, B, C appartiennent au plan $z=0$ : le plan (ABC) a pour équation $z=0$ et pour vecteur normal $(0\;;\;0\;;\;1)$.

Ce vecteur n'est pas colinéaire à $\vec{n}(1\;;\;2\;;\;-2)$ (la première coordonnée de $\vec{n}$ est non nulle, celle de l'autre est nulle). Donc les plans $\mathcal{P}$ et (ABC) ne sont pas parallèles : ils sont sécants selon une droite.

Le point B$(4\;;\;0\;;\;0)$ appartient à (ABC) (sa cote est nulle) et à $\mathcal{P}$ car $4+0-0-4=0$.

Le point K$(0\;;\;2\;;\;0)$ appartient à (ABC) (sa cote est nulle) et à $\mathcal{P}$ d'après la question c).

Les points B et K sont distincts et appartiennent tous deux à l'intersection de $\mathcal{P}$ et (ABC), qui est une droite.

Donc l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et (ABC) est la droite (BK).

Question 4.

a) On choisit pour base de la pyramide CBKG le triangle BCK, situé dans le plan (ABC) d'équation $z=0$.

Le côté $[\text{BC}]$ mesure $\text{BC}=\sqrt{(4-4)^2+(4-0)^2+(0-0)^2}=4$.

La droite (BC) a pour équation $x=4$ dans le plan $z=0$. Le point K$(0\;;\;2\;;\;0)$ est à la distance $4-0=4$ de cette droite : c'est la hauteur du triangle BCK issue de K.

La hauteur de la pyramide relative à cette base est la distance de G$(4\;;\;4\;;\;4)$ au plan $z=0$, soit $h=4$.

D'après la formule du volume d'une pyramide $V=\dfrac{B\times h}{3}$ :

Donc le volume de la pyramide CBKG est $\dfrac{32}{3}$ (unités de volume).

Réponse : $V_{\text{CBKG}}=\dfrac{32}{3}$.

b) On calcule le même volume en prenant pour base le triangle BKG.

Les points B, K et G appartiennent à $\mathcal{P}$ (questions 3. c), 3. d) et construction de $\mathcal{P}$ passant par G), donc le triangle BKG est contenu dans $\mathcal{P}$.

La hauteur de la pyramide relative à cette base est la distance de C au plan $\mathcal{P}$. D'après la question 3. b), J est le projeté orthogonal de C sur $\mathcal{P}$, donc cette hauteur est CJ.

Avec $\overrightarrow{\text{CJ}}\left(\dfrac{28}{9}-4\;;\;\dfrac{20}{9}-4\;;\;\dfrac{16}{9}-0\right)=\left(-\dfrac89\;;\;-\dfrac{16}{9}\;;\;\dfrac{16}{9}\right)$ :

Le volume de la pyramide CBKG, calculé avec cette base, vaut donc

D'après la question a), $V_{\text{CBKG}}=\dfrac{32}{3}$, donc

Donc l'aire du triangle BKG est égale à $12$.

c) Le point B$(4\;;\;0\;;\;0)$ vérifie $4+2\times0-2\times0-4=0$ : B appartient à $\mathcal{P}$.

Le point G$(4\;;\;4\;;\;4)$ vérifie $4+2\times4-2\times4-4=0$ : G appartient à $\mathcal{P}$.

Les points B et G sont distincts et appartiennent au plan $\mathcal{P}$.

Donc la droite (BG) est incluse dans $\mathcal{P}$.

d) Oui, on peut l'affirmer.

Soit I$'$ un point de l'arête $[\text{EF}]$ : I$'(a\;;\;0\;;\;4)$ avec $0\leqslant a\leqslant4$.

On a $\overrightarrow{\text{I}'\text{C}}=(4-a\;;\;4\;;\;-4)$, vecteur non nul (sa deuxième coordonnée est $4$).

Le plan $P'$ passe par G$(4\;;\;4\;;\;4)$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{\text{I}'\text{C}}$ : un point $M(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à $P'$ si et seulement si $\overrightarrow{\text{GM}}\cdot\overrightarrow{\text{I}'\text{C}}=0$, c'est-à-dire

Le point G appartient à $P'$ par construction (ses coordonnées annulent chacun des trois termes).

Pour B$(4\;;\;0\;;\;0)$ :

Donc B appartient à $P'$, et cela quelle que soit la valeur de $a\in[0\;;\;4]$.

Les points B et G sont distincts et appartiennent tous deux à $P'$.

Donc la droite (BG) est incluse dans $P'$, quelle que soit la position de I$'$ sur $[\text{EF}]$.

Points clés attendus

• Obtenir les coordonnées des sommets du cube par des égalités vectorielles ou par lecture des arêtes.

• Déduire un vecteur normal de $\mathcal{P}$ de l'orthogonalité avec (IC), puis déterminer le coefficient $d$ avec le point G.

• Trouver J en injectant la représentation paramétrique de (IC) dans l'équation de $\mathcal{P}$, et interpréter J comme projeté orthogonal de C sur $\mathcal{P}$.

• Justifier (BK) comme intersection des deux plans : deux points distincts communs, plans non parallèles.

• Calculer le volume de CBKG de deux façons (deux bases, deux hauteurs) pour en déduire l'aire de BKG.

• Pour la dernière question, vérifier que B et G sont dans $P'$ pour un point I$'$ quelconque, sans fixer $a$.

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