Bac 2024, Polynésie : exercice 4

Partie A

Question 1.

La fonction complétée est la suivante : le terme initial est $u_0=3$, et à chaque tour de boucle on remplace $u$ par $\dfrac{4}{5-u}$.

def suite(n):
    u = 3
    for i in range(n):
        u = 4/(5 - u)
    return u

Après $n$ passages dans la boucle, la variable u contient $u_n$ : la fonction renvoie bien $u_n$.

Question 2.

On calcule les premiers termes :

Donc $u_2=\dfrac43$. Le nombre $\dfrac43=1{,}333\ldots$ n'a pas d'écriture décimale finie : Python en affiche une valeur approchée sous forme de nombre flottant, d'où l'affichage 1.3333333333333333.

Question 3.

Les valeurs affichées sont :

Ces valeurs diminuent quand le rang augmente et se rapprochent de $1$.

On conjecture donc que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et qu'elle converge vers $1$.

Partie B

Question 1.

La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty\,;5[$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur $5-x$ ne s'annule pas sur cet intervalle.

Avec $f(x)=4\times\dfrac{1}{5-x}$ et $\left(\dfrac1w\right)'=-\dfrac{w'}{w^2}$ pour $w(x)=5-x$, $w'(x)=-1$ :

Pour tout $x<5$, $(5-x)^2>0$, donc $f'(x)>0$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;5[$.

Question 2.

Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$. Démontrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Initialisation. On a $u_0=3$ et $u_1=2$, et $1\leqslant 2\leqslant 3\leqslant 4$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $1\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 4$.

Les réels $1$, $u_{k+1}$, $u_k$ et $4$ appartiennent à l'intervalle $]-\infty\,;5[$, sur lequel $f$ est croissante (question 1). On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence, en conservant le sens des inégalités :

On a $f(1)=\dfrac{4}{5-1}=1$ et $f(4)=\dfrac{4}{5-4}=4$. De plus $f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$ et $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$. Donc

Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$.

Question 3. a)

Soit $x\in]-\infty\,;5[$. Alors $5-x>0$, et on peut multiplier par $5-x$ :

Donc, pour $x<5$, $f(x)=x\iff x^2-5x+4=0$.

Question 3. b)

On a $(x-1)(x-4)=x^2-4x-x+4=x^2-5x+4$. Donc

Les deux réels $1$ et $4$ appartiennent à $]-\infty\,;5[$. D'après la question précédente, ils sont solutions de $f(x)=x$.

Donc l'ensemble des solutions de $f(x)=x$ dans $]-\infty\,;5[$ est $\{1\,;4\}$.

Réponse : $S=\{1\,;4\}$.

Question 4.

Convergence. D'après la question 2, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ et $u_n\geqslant 1$ (car $u_{n+1}\geqslant 1$ et $u_0=3\geqslant 1$). La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.

Valeur de la limite. Pour tout $n$, $1\leqslant u_n\leqslant u_0=3$, donc par passage à la limite $1\leqslant\ell\leqslant 3$. En particulier $\ell\in]-\infty\,;5[$.

La fonction $f$ est continue sur $]-\infty\,;5[$ (elle y est dérivable). On a $u_n\to\ell$, donc $f\left(u_n\right)\to f(\ell)$. Comme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $u_{n+1}\to\ell$, l'unicité de la limite donne

D'après la question 3, $\ell=1$ ou $\ell=4$. Comme $\ell\leqslant 3$, on a $\ell\neq 4$, donc $\ell=1$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente, de limite $1$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1$.

Question 5.

Si $u_0=4$, on montre par récurrence que $u_n=4$ pour tout entier naturel $n$ : $u_0=4$ et, si $u_k=4$ pour un entier $k$, alors $u_{k+1}=f(4)=\dfrac{4}{5-4}=4$.

La suite est donc constante, égale à $4$. Elle converge vers $4$ et non vers $1$.

Donc le comportement de la suite ne serait pas identique : elle serait constante et convergerait vers $4$ au lieu de décroître vers $1$.

Réponse : non, pour $u_0=4$ la suite est constante égale à $4$.

Points clés attendus

• Compléter le code Python (valeur initiale, mise à jour dans la boucle) et expliquer l'affichage flottant de $u_2=\dfrac43$.

• Étudier $f$ : dérivée d'un quotient, signe de $f'$ justifié par $(5-x)^2>0$.

• Récurrence complète, en citant la croissance de $f$ sur $]-\infty\,;5[$ et en utilisant $f(1)=1$ et $f(4)=4$.

• Citer le théorème de la limite monotone, la continuité de $f$ pour passer à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, puis éliminer $\ell=4$ grâce à $\ell\leqslant u_0=3$.

• Pour la dernière question, remarquer que $4$ est un point fixe de $f$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.