Bac 2024, Asie : exercice 4

Partie A

Question 1. Un point appartient à $(P)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient $2x+2y-3z+1=0$.

Pour A$(1\,;0\,;1)$ : $2\times1+2\times0-3\times1+1=2-3+1=0$. Donc A appartient à $(P)$.

Pour B$(2\,;-1\,;1)$ : $2\times2+2\times(-1)-3\times1+1=4-2-3+1=0$. Donc B appartient à $(P)$.

Pour C$(-4\,;-6\,;5)$ : $2\times(-4)+2\times(-6)-3\times5+1=-8-12-15+1=-34\neq0$. Donc C n'appartient pas à $(P)$.

Réponse : A et B appartiennent à $(P)$   C n'appartient pas à $(P)$.

Question 2. Un vecteur normal à $(P)$ se lit sur son équation : $\vec n(2\,;2\,;-3)$.

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{C'C}}$ :

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{C'C}}$ est colinéaire à $\vec n$ : la droite (CC$'$) est orthogonale au plan $(P)$.

Le point C$'(0\,;-2\,;-1)$ appartient à $(P)$ :

Le projeté orthogonal de C sur $(P)$ est l'unique point de $(P)$ tel que la droite qui le joint à C soit orthogonale à $(P)$.

Donc C$'$ est le projeté orthogonal de C sur le plan $(P)$.

Question 3. On calcule un vecteur directeur de (AB) :

La droite (AB) passe par A$(1\,;0\,;1)$ et est dirigée par $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Une représentation paramétrique de (AB) est donc

Réponse : $x=1+t$, $y=-t$, $z=1$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 4. Le point H appartient à (AB) : il existe un réel $t$ tel que H$(1+t\,;-t\,;1)$.

On calcule alors

Les droites (AB) et (HC) sont orthogonales : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HC}}=0$.

Donc

soit $-5-t+6-t=0$, c'est-à-dire $1-2t=0$, donc $t=\dfrac12$.

On remplace dans la représentation paramétrique : H$\left(\dfrac32\,;-\dfrac12\,;1\right)$.

Vérification avec le vecteur admis en partie B : $\overrightarrow{\mathrm{HC}}\begin{pmatrix}-4-\frac32\\-6+\frac12\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{11}{2}\\-\frac{11}{2}\\4\end{pmatrix}$, ce qui est cohérent.

Réponse : H$\left(\dfrac32\,;-\dfrac12\,;1\right)$.

Partie B

Question 1. On a $\overrightarrow{\mathrm{HC}}\begin{pmatrix}-\frac{11}{2}\\-\frac{11}{2}\\4\end{pmatrix}$ dans un repère orthonormé, donc

On réduit : $\dfrac{121}{4}+\dfrac{121}{4}+16=\dfrac{121}{2}+\dfrac{32}{2}=\dfrac{153}{2}$.

Donc

car $306=9\times34$.

Réponse : $\left\|\overrightarrow{\mathrm{HC}}\right\|=\dfrac{3\sqrt{34}}{2}$.

Question 2. Le point H appartient à (AB) et les droites (AB) et (HC) sont orthogonales : le segment [HC] est la hauteur du triangle ABC issue de C.

On a $\mathrm{AB}=\left\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt2$.

L'aire du triangle est la moitié du produit d'une base par la hauteur associée :

Comme $68=4\times17$, on a $\sqrt{68}=2\sqrt{17}$, donc

Donc l'aire du triangle ABC est $\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$.

Réponse : $S=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$.

Partie C

Question 1. Le point C$'$ est le projeté orthogonal de C sur $(P)$ et H appartient à $(P)$ (H est sur (AB), contenue dans $(P)$ car A et B sont dans $(P)$).

La droite (CC$'$) est donc orthogonale à $(P)$, en particulier à la droite (C$'$H) contenue dans $(P)$ : le triangle CC$'$H est rectangle en C$'$.

Dans ce triangle, l'angle $\alpha=\widehat{\mathrm{CHC'}}$ a pour côté adjacent HC$'$ et pour hypoténuse HC. Donc

On a $\mathrm{HC'}=\sqrt{\dfrac{17}{2}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$ (car $\sqrt{\dfrac{17}{2}}=\dfrac{\sqrt{34}}{\sqrt4}$) et $\mathrm{HC}=\dfrac{3\sqrt{34}}{2}$.

Donc

Réponse : $\cos(\alpha)=\dfrac13$.

Question 2. a) On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{C'H}}$ :

Alors

Les droites (C$'$H) et (AB) sont orthogonales. Elles sont de plus sécantes en H, qui appartient aux deux droites.

Donc les droites (C$'$H) et (AB) sont perpendiculaires.

b) H appartient à (AB) et (C$'$H) est perpendiculaire à (AB) : [C$'$H] est la hauteur du triangle ABC$'$ issue de C$'$.

On a $\mathrm{C'H}=\mathrm{HC'}=\sqrt{\dfrac{17}{2}}$ et $\mathrm{AB}=\sqrt2$, donc

Donc l'aire du triangle ABC$'$ est $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$.

Réponse : $S'=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$.

c) On a $S=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$ et $S'=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$, donc $S'=\dfrac13S$.

Or $\cos(\alpha)=\dfrac13$ (question C.1).

Donc $S'=S\cos(\alpha)$ : l'aire du projeté orthogonal du triangle ABC sur $(P)$ est égale à l'aire de ABC multipliée par $\cos(\alpha)$.

Réponse : $S'=S\cos(\alpha)$.

Points clés attendus

• Pour le projeté orthogonal : montrer à la fois que C$'$ appartient à $(P)$ et que $\overrightarrow{\mathrm{C'C}}$ est colinéaire au vecteur normal.

• Traduire l'orthogonalité de (AB) et (HC) par un produit scalaire nul pour déterminer le paramètre $t$.

• Identifier [HC] comme hauteur de ABC et [C$'$H] comme hauteur de ABC$'$ pour utiliser $\dfrac12\times\text{base}\times\text{hauteur}$.

• Justifier que le triangle CC$'$H est rectangle en C$'$ avant d'écrire le cosinus.

• Simplifier correctement les radicaux ($\sqrt{68}=2\sqrt{17}$, $\sqrt{\tfrac{17}{2}}=\tfrac{\sqrt{34}}{2}$).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.