Bac 2024, Métropole : exercice 2

Affirmation 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ :

Les points A, B et C ne sont pas alignés, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : ils dirigent le plan (ABC).

Le vecteur $\vec{n}$ est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC) : l'affirmation 1 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 2.

On a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ est donc colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ : c'est un vecteur directeur de la droite (AB), et c'est bien le vecteur directeur de la représentation proposée.

Il reste à vérifier que le point $M(2\,;3\,;1)$, obtenu pour $t=0$, appartient à (AB).

On a

Donc $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ : $M$ appartient à la droite (AB).

La droite proposée passe par $M\in(AB)$ et admet $\vec{u}$ pour vecteur directeur, qui dirige (AB) : c'est la droite (AB).

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 3.

La droite (AB) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}=3\vec{u}$. Le plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à (AB) : le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ est donc un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est de la forme

Le point $C(6\,;-2\,;-1)$ appartient à $\mathcal{P}$, donc

Une équation de $\mathcal{P}$ est donc $2x-y+2z-12=0$.

L'équation proposée $2x+2y-z-9=0$ a pour vecteur normal $\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$, qui n'est pas colinéaire à $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ (les deuxièmes coordonnées sont de signes opposés alors que les premières sont égales). Ce n'est donc pas une équation de $\mathcal{P}$.

D'ailleurs, les coordonnées de A, B et C vérifient $2x+2y-z-9=0$ : $0+8+1-9=0$, $12+2-5-9=0$ et $12-4+1-9=0$. L'équation proposée est celle du plan (ABC), que l'on a obtenue à l'affirmation 1.

Donc l'affirmation 3 est fausse.

Réponse : fausse, une équation de $\mathcal{P}$ est $2x-y+2z-12=0$.

Affirmation 4.

Les vecteurs directeurs de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont respectivement $\vec{d}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{d'}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$.

Ils ne sont pas colinéaires : si $\vec{d'}=k\vec{d}$, la première coordonnée donnerait $k=2$ et la deuxième $k=-1$, ce qui est impossible. Les droites ne sont donc pas parallèles.

On cherche un éventuel point commun, c'est-à-dire des réels $t$ et $t'$ vérifiant

La deuxième équation donne $t=3-t'$.

On remplace dans la première : $3+3-t'=2t'$, donc $6=3t'$ et $t'=2$. Alors $t=3-2=1$.

On vérifie la troisième équation : $2+t=3$ et $-1+2t'=-1+4=3$. Elle est satisfaite.

Le système admet donc une solution. Pour $t=1$ (dans $\mathcal{D}$) et pour $t'=2$ (dans $\mathcal{D}'$), on obtient le même point de coordonnées $(4\,;2\,;3)$.

Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont sécantes en $(4\,;2\,;3)$. Deux droites sécantes sont contenues dans un même plan, donc elles sont coplanaires.

Donc l'affirmation 4 est fausse.

Réponse : fausse, $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont sécantes en $(4\,;2\,;3)$ donc coplanaires.

Points clés attendus

• Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée et vérifier que le vecteur normal est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Pour une représentation paramétrique d'une droite, vérifier à la fois le vecteur directeur et l'appartenance d'un point.

• Déduire le vecteur normal de $\mathcal{P}$ de la direction de (AB), puis déterminer $d$ avec les coordonnées de C.

• Pour la coplanarité : étudier le parallélisme, puis résoudre le système en $t$ et $t'$ et vérifier les trois équations.

• Chaque réponse « vraie » ou « fausse » doit être justifiée par un calcul, sinon elle ne rapporte aucun point.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.