Bac 2024, Métropole : exercice 3

Partie A

Question 1. a)

Soit $n$ un entier naturel. On a

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-2=u_n\left(u_n-2\right)$.

Question 1. b)

Soit $n$ un entier naturel. On a

Par ailleurs, en développant,

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.

Question 2. a)

Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $u_n<2$. Démontrons par récurrence que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Initialisation. On a $u_0=a$ et $1<a<2$ dans cette partie, donc $u_0<2$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k<2$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}<2$.

D'après la question 1. a),

On sait que $u_k>1$ (résultat admis dans l'énoncé), donc $u_k>0$.

D'après l'hypothèse de récurrence, $u_k-2<0$.

Le produit d'un réel strictement positif et d'un réel strictement négatif est strictement négatif, donc $u_{k+1}-2<0$, c'est-à-dire $u_{k+1}<2$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n<2$.

Question 2. b)

Sens de variation. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n>1$ (admis) et $u_n<2$ (question précédente). Donc

D'après la question 1. b), $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$ est le produit d'un réel strictement positif et d'un réel strictement négatif, donc $u_{n+1}-u_n<0$.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.

Convergence. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. D'après le théorème de la limite monotone (une suite décroissante et minorée converge), elle converge vers une limite $\ell$ réelle. Comme $u_n>1$ pour tout $n$, on a $\ell\geqslant 1$ par passage à la limite dans l'inégalité.

Valeur de la limite. Posons $g(x)=x^2-2x+2$, de sorte que $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$. La fonction $g$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$, donc $\left(u_{n+1}\right)$ converge aussi vers $\ell$ et $\left(g(u_n)\right)$ converge vers $g(\ell)$. Par unicité de la limite,

Donc $\ell=1$ ou $\ell=2$.

La suite est décroissante, donc $u_n\leqslant u_0=a<2$ pour tout $n$, d'où $\ell\leqslant a<2$. Donc $\ell\neq 2$, et par conséquent $\ell=1$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et sa limite est $1$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1$.

Partie B

Question 1.

La fonction u(a,n) initialise u à a, puis applique $n$ fois l'instruction u=u**2-2*u+2 : elle renvoie donc le terme $u_n$ de la suite de premier terme $u_0=a$.

Pour $a=2$ : $u_0=2$ et

L'appel u(2,1) effectue une seule fois l'instruction et renvoie $u_1=2$.

L'appel u(2,2) effectue deux fois l'instruction : $u_2=2^2-2\times 2+2=2$.

Donc le programme renvoie $2$ pour u(2,1) et $2$ pour u(2,2).

Réponse : u(2,1) renvoie $2$ et u(2,2) renvoie $2$.

Question 2.

Les valeurs $u_0=u_1=u_2=2$ conduisent à conjecturer que, pour $a=2$, la suite $\left(u_n\right)$ est constante, égale à $2$.

Partie C

Question 1. a)

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n>1$ (admis), donc $u_n-1>0$ : le réel $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$ est bien défini.

Soit $n$ un entier naturel. On a

Comme $u_n-1>0$, on peut utiliser la propriété $\ln\left(x^2\right)=2\ln x$ valable pour $x>0$ :

La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$. Son premier terme est

Donc $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln(a-1)$.

Question 1. b)

Une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0$ vérifie $v_n=v_0\times 2^n$ pour tout entier naturel $n$. Donc

Par ailleurs, $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$ équivaut à $u_n-1=\mathrm{e}^{v_n}$ (la fonction exponentielle est la réciproque de $\ln$ et $u_n-1>0$). Donc

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1+\mathrm{e}^{2^n\times\ln(a-1)}$.

Question 2.

On étudie la limite de $u_n=1+\mathrm{e}^{2^n\ln(a-1)}$ selon le signe de $\ln(a-1)$, c'est-à-dire selon la position de $a-1$ par rapport à $1$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante et $\ln 1=0$). On a $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty$ car $2>1$.

• Cas $1<a<2$. Alors $0<a-1<1$, donc $\ln(a-1)<0$. Comme $2^n\to+\infty$, on a $2^n\ln(a-1)\to-\infty$. Par composition avec $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, on obtient $\mathrm{e}^{2^n\ln(a-1)}\to 0$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1$, ce qui est cohérent avec la partie A.

• Cas $a=2$. Alors $a-1=1$ et $\ln(a-1)=0$, donc $u_n=1+\mathrm{e}^0=2$ pour tout $n$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$, ce qui confirme la conjecture de la partie B.

• Cas $a>2$. Alors $a-1>1$, donc $\ln(a-1)>0$. Comme $2^n\to+\infty$, on a $2^n\ln(a-1)\to+\infty$. Par composition avec $\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$, on obtient $\mathrm{e}^{2^n\ln(a-1)}\to+\infty$. Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Donc la limite de $\left(u_n\right)$ vaut $1$ si $1<a<2$, vaut $2$ si $a=2$, et vaut $+\infty$ si $a>2$.

Réponse : $1<a<2$ : limite $1$   $a=2$ : limite $2$   $a>2$ : limite $+\infty$.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée complètement : initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé tel que $u_k<2$ », conclusion, en utilisant le signe du produit $u_k(u_k-2)$.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite décroissante minorée), puis résoudre $\ell=\ell^2-2\ell+2$ en justifiant la continuité de la fonction.

• Éliminer la valeur $\ell=2$ à l'aide de $\ell\leqslant u_0<2$.

• Pour $v_n$, vérifier que $u_n-1>0$ avant d'écrire le logarithme, et utiliser $\ln(x^2)=2\ln x$.

• Dans la partie C, distinguer les trois cas selon le signe de $\ln(a-1)$ et citer la limite d'une composée.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.