Bac 2024, Métropole : exercice 1

On se place dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\;;\;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$ : le cube ABCDEFGH de côté $1$ a pour sommets A$(0\;;\;0\;;\;0)$, B$(1\;;\;0\;;\;0)$, D$(0\;;\;1\;;\;0)$, E$(0\;;\;0\;;\;1)$, et donc C$(1\;;\;1\;;\;0)$, F$(1\;;\;0\;;\;1)$, G$(1\;;\;1\;;\;1)$, H$(0\;;\;1\;;\;1)$.

Question 1. a)

D$(0\;;\;1\;;\;0)$, B$(1\;;\;0\;;\;0)$ et G$(1\;;\;1\;;\;1)$.

Le point I est le milieu du segment $[\mathrm{BD}]$ : ses coordonnées sont les moyennes de celles de B et de D.

Réponse : D$(0\;;\;1\;;\;0)$, B$(1\;;\;0\;;\;0)$, I$\left(\dfrac12\;;\;\dfrac12\;;\;0\right)$, G$(1\;;\;1\;;\;1)$.

1. b)

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{IG}}$ :

Notons $(x\;;\;y\;;\;z)$ les coordonnées de L. On a

L'égalité $\overrightarrow{\mathrm{IL}}=\dfrac34\overrightarrow{\mathrm{IG}}$ équivaut à l'égalité des coordonnées :

On en déduit

Donc le point L a pour coordonnées $\left(\dfrac78\;;\;\dfrac78\;;\;\dfrac34\right)$.

Question 2.

On vérifie que les trois points B, D et G vérifient l'équation $x+y-z-1=0$ :

On a $\overrightarrow{\mathrm{BD}}(-1\;;\;1\;;\;0)$ et $\overrightarrow{\mathrm{BG}}(0\;;\;1\;;\;1)$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=k\overrightarrow{\mathrm{BG}}$, la première coordonnée donnerait $-1=k\times0=0$, ce qui est impossible. Donc B, D, G ne sont pas alignés et définissent un unique plan.

L'équation $x+y-z-1=0$ est celle d'un plan, puisque le vecteur $(1\;;\;1\;;\;-1)$ de ses coefficients n'est pas nul. Ce plan contient B, D et G.

Donc une équation cartésienne du plan $(\mathrm{BDG})$ est $x+y-z-1=0$.

Question 3. a)

Le plan $(\mathrm{BDG})$ a pour équation cartésienne $x+y-z-1=0$ : le vecteur $\vec{n}(1\;;\;1\;;\;-1)$ dont les coordonnées sont les coefficients de $x$, $y$, $z$ est un vecteur normal à ce plan.

La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(\mathrm{BDG})$ : elle est donc dirigée par $\vec{n}$. Elle passe par $\mathrm{L}\left(\dfrac78\;;\;\dfrac78\;;\;\dfrac34\right)$.

Un point $\mathrm{M}(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à $\Delta$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{LM}}=t\vec{n}$, c'est-à-dire

Donc c'est bien une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

3. b)

La droite $(\mathrm{AE})$ est l'axe des cotes : un point de $(\mathrm{AE})$ a pour coordonnées $(0\;;\;0\;;\;z)$ avec $z\in\mathbb{R}$.

Un point de $\Delta$ de paramètre $t$ appartient à $(\mathrm{AE})$ si et seulement si

Ces deux conditions sont identiques : elles équivalent à $t=-\dfrac78$.

Pour cette valeur de $t$, la cote vaut

Le système admet une unique solution : les droites $\Delta$ et $(\mathrm{AE})$ ont un unique point commun, de coordonnées $\left(0\;;\;0\;;\;\dfrac{13}{8}\right)$.

Donc les droites $\Delta$ et $(\mathrm{AE})$ sont sécantes au point $\mathrm{K}\left(0\;;\;0\;;\;\dfrac{13}{8}\right)$.

3. c)

Le point L appartient au plan $(\mathrm{BDG})$ : en effet

Le point K appartient à la droite $\Delta$, qui est perpendiculaire au plan $(\mathrm{BDG})$ et le coupe en L.

Donc L est le projeté orthogonal du point K sur le plan $(\mathrm{BDG})$.

Question 4. a)

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{\mathrm{KL}}$ :

Le repère étant orthonormé,

Donc la distance KL est égale à $\dfrac{7\sqrt3}{8}$.

Réponse : $\mathrm{KL}=\dfrac{7\sqrt3}{8}$.

4. b)

Le triangle DBG est équilatéral. Son côté mesure

Sa hauteur est celle d'un triangle équilatéral de côté $\sqrt2$ : elle vaut $\dfrac{\sqrt3}{2}\times\sqrt2=\dfrac{\sqrt6}{2}$.

L'aire du triangle est le demi-produit de la base par la hauteur :

Donc l'aire du triangle DBG est égale à $\dfrac{\sqrt3}{2}$.

4. c)

On prend pour base du tétraèdre KDBG le triangle DBG, situé dans le plan $(\mathrm{BDG})$.

La hauteur relative à cette base est la distance de K au plan $(\mathrm{BDG})$. Comme L est le projeté orthogonal de K sur ce plan (question 3. c)), cette hauteur est $h=\mathrm{KL}=\dfrac{7\sqrt3}{8}$.

D'après la formule $\mathcal{V}=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h$ :

Donc le volume du tétraèdre KDBG est $\dfrac{7}{16}$ (unité de volume).

Réponse : $\mathcal{V}_{\mathrm{KDBG}}=\dfrac{7}{16}$.

Question 5. a)

La pyramide $\mathrm{ABCDK}_a$ a pour base le carré ABCD, de côté $1$, donc d'aire $\mathcal{B}=1$.

Le point $\mathrm{K}_a(0\;;\;0\;;\;a)$ appartient à la droite $(\mathrm{AE})$, qui est perpendiculaire au plan $(\mathrm{ABC})$ (le repère est orthonormé : $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ est orthogonal à $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et à $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$). La hauteur relative à la base ABCD est donc $h=\mathrm{AK}_a=a$ (avec $a>0$).

D'où

Donc le volume de la pyramide $\mathrm{ABCDK}_a$ est $\mathcal{V}_a=\dfrac a3$.

Réponse : $\mathcal{V}_a=\dfrac a3$.

5. b)

Le point $\mathrm{L}_a$ appartient à la fois à $\Delta_a$ et au plan $(\mathrm{BDG})$. Un point de $\Delta_a$ de paramètre $t'$ a pour coordonnées $(t'\;;\;t'\;;\;-t'+a)$.

Il appartient au plan d'équation $x+y-z-1=0$ si et seulement si

soit

Cette valeur est unique : la droite $\Delta_a$ et le plan se coupent en un seul point. Ses coordonnées sont

Donc $\mathrm{L}_a\left(\dfrac{a+1}{3}\;;\;\dfrac{a+1}{3}\;;\;\dfrac{2a-1}{3}\right)$.

5. c)

La droite $\Delta_a$ est dirigée par le vecteur $(1\;;\;1\;;\;-1)=\vec{n}$, normal au plan $(\mathrm{BDG})$. Elle est donc perpendiculaire à ce plan, et $\mathrm{L}_a$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{K}_a$ sur $(\mathrm{BDG})$.

La hauteur du tétraèdre $\mathrm{GDBK}_a$ relative à la base DBG est donc $\mathrm{K}_a\mathrm{L}_a$. On a

donc, comme $a+1>0$,

Le volume du tétraèdre est alors

Pour $a=\dfrac{13}{8}$, on retrouve $\dfrac{21}{8\times6}=\dfrac{7}{16}$, valeur de la question 4. c).

Les deux volumes sont égaux si et seulement si

Cette valeur est strictement positive. Donc il existe un unique réel $a>0$ tel que le tétraèdre $\mathrm{GDBK}_a$ et la pyramide $\mathrm{ABCDK}_a$ aient le même volume : $a=1$ (le point $\mathrm{K}_a$ est alors le point E).

Réponse : $a=1$.

Points clés attendus

• Calculer les coordonnées des vecteurs coordonnée par coordonnée, et justifier que le vecteur de coefficients de l'équation est normal au plan.

• Pour l'équation du plan, vérifier que les trois points B, D, G la satisfont (et qu'ils ne sont pas alignés).

• Justifier que L est le projeté orthogonal de K : $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(\mathrm{BDG})$ et le coupe en L.

• Citer la formule du volume $\frac13\times\mathcal{B}\times h$ en identifiant clairement la base et la hauteur correspondante ($\mathrm{KL}$, puis $\mathrm{AK}_a$).

• Pour la dernière question, exprimer les deux volumes en fonction de $a$, puis résoudre l'équation et conclure sur l'existence et l'unicité de $a$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.