Bac 2024, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1. a)

Soit $x\in[-1\;;\;1]$. On a $-1\leqslant x\leqslant1$, donc $x^2\leqslant1$, c'est-à-dire

Par ailleurs, la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : $\mathrm{e}^x>0$.

Le produit d'un réel positif et d'un réel strictement positif est positif :

Donc pour tout $x\in[-1\;;\;1]$, $f(x)\geqslant0$.

1. b)

La fonction $f$ est continue sur $[-1\;;\;1]$, donc l'intégrale existe. On intègre par parties en posant, pour $x\in[-1\;;\;1]$,

d'où

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[-1\;;\;1]$ et leurs dérivées $u'$ et $v'$ sont continues. La formule d'intégration par parties donne

soit

On calcule le crochet :

Par linéarité de l'intégrale, on obtient

Question 2.

D'après la question 1. a), la fonction $f$ est positive sur $[-1\;;\;1]$, et elle est continue. L'aire $S$ de la surface colorée, délimitée par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$, est donc

Cherchons une primitive de $x\mapsto x\,\mathrm{e}^x$. Soit $G(x)=(x-1)\mathrm{e}^x$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$,

Donc $G$ est une primitive de $x\mapsto x\,\mathrm{e}^x$, et

On en déduit

Le volume vaut alors

Arrondi à $0{,}1$ près, on obtient $4{,}4$.

Donc le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d'un bonbon est $\dfrac{12}{\mathrm{e}}\ \text{cm}^3$, soit $4{,}4\ \text{cm}^3$ au dixième près.

Réponse : $S=\dfrac4{\mathrm{e}}\ \text{cm}^2$ et $\mathcal{V}=\dfrac{12}{\mathrm{e}}\approx4{,}4\ \text{cm}^3$.

Partie B

Question 1. a)

On écrit $B(q)=8q^2\left(2-3\ln q\right)-3$ et on étudie les limites des facteurs quand $q\to+\infty$.

On a $\displaystyle\lim_{q\to+\infty}\ln q=+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{q\to+\infty}\left(2-3\ln q\right)=-\infty$.

On a aussi $\displaystyle\lim_{q\to+\infty}8q^2=+\infty$.

Par produit de limites, $\displaystyle\lim_{q\to+\infty}8q^2\left(2-3\ln q\right)=-\infty$. En retranchant $3$, la limite reste infinie :

Réponse : $\displaystyle\lim_{q\to+\infty}B(q)=-\infty$.

1. b)

La fonction $B$ est dérivable sur $[0{,}01\;;\;+\infty[$. On dérive le produit $u\times v$ avec

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $q\geqslant0{,}01$ :

Donc pour tout $q\geqslant0{,}01$, $B'(q)=8q\left(1-6\ln q\right)$.

1. c)

Pour $q\geqslant0{,}01$, on a $8q>0$. Donc $B'(q)$ est du signe de $1-6\ln q$.

On résout :

car la fonction exponentielle est strictement croissante.

On a $\mathrm{e}^{1/6}\approx1{,}181$, et ce nombre appartient bien à l'intervalle $[0{,}01\;;\;+\infty[$. Donc :

• $B'(q)>0$ pour $q\in[0{,}01\;;\;\mathrm{e}^{1/6}[$

• $B'\left(\mathrm{e}^{1/6}\right)=0$

• $B'(q)<0$ pour $q\in]\mathrm{e}^{1/6}\;;\;+\infty[$.

La fonction $B$ est donc strictement croissante sur $[0{,}01\;;\;\mathrm{e}^{1/6}]$, puis strictement décroissante sur $[\mathrm{e}^{1/6}\;;\;+\infty[$.

Tableau de variation, décrit en phrases : on a $B(0{,}01)\approx-2{,}987$. La fonction $B$ croît de $B(0{,}01)\approx-2{,}987$ jusqu'à son maximum $B\left(\mathrm{e}^{1/6}\right)=12\,\mathrm{e}^{1/3}-3\approx13{,}747$, atteint en $q=\mathrm{e}^{1/6}\approx1{,}181$, puis décroît vers $-\infty$ (limite en $+\infty$ de la question 1. a)).

1. d)

D'après les variations de $B$, le bénéfice maximal est atteint en $q=\mathrm{e}^{1/6}$. Comme $\ln\left(\mathrm{e}^{1/6}\right)=\dfrac16$,

Le bénéfice est exprimé en dizaines d'euros : le maximum est d'environ $13{,}747$ dizaines d'euros, soit $137{,}47$ euros.

Donc le bénéfice maximal que peut espérer l'artisan est de $137$ euros à l'euro près.

Réponse : $B_{\max}=12\,\mathrm{e}^{1/3}-3\approx13{,}747$ dizaines d'euros, soit $137$ euros.

Question 2. a)

Sur l'intervalle $[1{,}2\;;\;+\infty[$ :

• $B$ est dérivable, donc continue

• $1{,}2>\mathrm{e}^{1/6}\approx1{,}181$, donc $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle (question 1. c)).

On a $B(1{,}2)\approx13{,}739>10$ et $\displaystyle\lim_{q\to+\infty}B(q)=-\infty$, donc $B$ prend sur $[1{,}2\;;\;+\infty[$ toutes les valeurs de $]-\infty\;;\;B(1{,}2)]$, intervalle qui contient $10$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l'équation $B(q)=10$ admet une unique solution $\beta$ dans $[1{,}2\;;\;+\infty[$.

À la calculatrice, on obtient $\beta\approx1{,}558$ (on a $B(1{,}558)\approx10{,}007>10$ et $B(1{,}559)<10$).

Réponse : $\beta\approx1{,}558$.

2. b)

Un bénéfice supérieur à $100$ euros correspond à $B(q)>10$ (en dizaines d'euros).

Sur $[0{,}01\;;\;\mathrm{e}^{1/6}]$ : $B$ est strictement croissante et $B(\alpha)=10$, avec $\alpha\approx0{,}757<\mathrm{e}^{1/6}$. Donc pour $q$ dans cet intervalle, $B(q)>10\iff q>\alpha$.

Sur $[\mathrm{e}^{1/6}\;;\;+\infty[$ : $B$ est strictement décroissante et $B(\beta)=10$, avec $\beta>1{,}2>\mathrm{e}^{1/6}$. Donc pour $q$ dans cet intervalle, $B(q)>10\iff q<\beta$.

En réunissant les deux cas, $B(q)>10$ si et seulement si $\alpha<q<\beta$, soit

La quantité $q$ est exprimée en centaines de bonbons : il faut vendre strictement plus de $75{,}7$ bonbons et strictement moins de $155{,}8$ bonbons. Le nombre de bonbons est un entier.

Donc l'artisan doit vendre au minimum $76$ bonbons et au maximum $155$ bonbons pour réaliser un bénéfice supérieur à $100$ euros.

Réponse : minimum $76$ bonbons, maximum $155$ bonbons.

Points clés attendus

• Justifier le signe de $f$ (carré inférieur à $1$, exponentielle strictement positive) avant de relier l'intégrale à une aire.

• Intégration par parties : poser $u$ et $v'$, vérifier la régularité, calculer le crochet nul.

• Pour la limite en $+\infty$ de $B$ : produit de limites, forme non indéterminée ici.

• Dérivée d'un produit, signe de $B'$ justifié par $8q>0$ et résolution de $1-6\ln q\geqslant0$.

• Théorème des valeurs intermédiaires (corollaire) : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes encadrant $10$.

• Conversion des unités (dizaines d'euros, centaines de bonbons) et arrondi aux entiers corrects.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.