Bac 2024, Centres étrangers - Suède : exercice 4

Question 1. On calcule les longueurs des deux segments.

Pour l'avion n° 1 : $\overrightarrow{OA}=(0\,;200\,;0)$, donc

Pour l'avion n° 2 : $\overrightarrow{BC}=(87-(-33)\,;75-75\,;-116-44)=(120\,;0\,;-160)$, donc

Les deux avions volent à la même vitesse constante de $200$ m/s. La durée du parcours est égale à la distance divisée par la vitesse : chacun met $\dfrac{200}{200}=1$ seconde.

Donc l'avion n° 2 met autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l'avion n° 1 à parcourir le segment $[OA]$ : $1$ seconde.

Question 2. On détermine une représentation paramétrique de chaque droite, puis on cherche un point commun.

La droite $(OA)$ passe par $O$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{OA}$, donc $\dfrac{1}{200}\overrightarrow{OA}=(0\,;1\,;0)$ en est aussi un. Une représentation paramétrique est

La droite $(BC)$ passe par $B(-33\,;75\,;44)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{BC}(120\,;0\,;-160)$. Une représentation paramétrique est

Un point commun correspond à un couple $(s\,;k)$ vérifiant le système

La première équation donne $k=\dfrac{33}{120}=\dfrac{11}{40}$.

La troisième équation donne $k=\dfrac{44}{160}=\dfrac{11}{40}$ : les deux valeurs de $k$ coïncident.

La deuxième équation donne $s=\dfrac{75}{200}=\dfrac38$.

Le système admet donc la solution $(s\,;k)=\left(\dfrac38\,;\dfrac{11}{40}\right)$.

Le point correspondant est $P(0\,;75\,;0)$. Les valeurs $s=\dfrac38$ et $k=\dfrac{11}{40}$ appartiennent à $[0\,;1]$, donc $P$ appartient aux deux segments $[OA]$ et $[BC]$.

Donc les trajectoires des deux avions se coupent au point $P(0\,;75\,;0)$.

Question 3. Les droites $(OA)$ et $(BC)$ ne sont pas confondues (le point $B$ n'est pas sur $(OA)$ car son abscisse n'est pas nulle) : elles ont un seul point commun, $P$.

Une collision ne peut donc avoir lieu qu'au point $P$, et seulement si les deux avions s'y trouvent au même instant.

On calcule l'instant de passage de chaque avion en $P$, en prenant pour origine des temps l'instant où l'avion n° 1 est en $O$ et l'avion n° 2 en $B$.

• Avion n° 1 : $OP=75$ m, parcourus à la vitesse de $200$ m/s. Il est en $P$ à l'instant

  $$t_1=\dfrac{75}{200}=0{,}375\text{ s}.$$

• Avion n° 2 : $\overrightarrow{BP}=\dfrac{11}{40}\overrightarrow{BC}$, donc $BP=\dfrac{11}{40}\times200=55$ m. Il est en $P$ à l'instant

  $$t_2=\dfrac{55}{200}=0{,}275\text{ s}.$$

Comme $t_1\neq t_2$, les deux avions ne sont pas en $P$ au même instant (l'avion n° 2 passe en $P$ $0{,}1$ seconde avant l'avion n° 1).

Donc les deux avions ne se percutent pas lors de ce passage.

Réponse : non, il n'y a pas de collision.

Points clés attendus

• Calculer les deux longueurs $OA$ et $BC$ avec la formule de la distance, puis relier durée, distance et vitesse constante.

• Écrire une représentation paramétrique de chaque droite avec deux paramètres distincts, résoudre le système et vérifier que les trois équations sont compatibles.

• Vérifier que les paramètres appartiennent à $[0\,;1]$ pour que le point commun soit sur les segments.

• Distinguer croisement des trajectoires et collision : comparer les instants de passage des deux avions au point d'intersection.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.