Bac 2024, Centres étrangers - Suède : exercice 3

Partie 1 : appareil de la marque A

Question 1. On repère sur la courbe le point d'ordonnée maximale : il a pour abscisse $200$ et pour ordonnée environ $350$.

Donc la température maximale à l'intérieur du foyer est atteinte au bout de $200$ minutes (soit $3$ h $20$ min), et vaut environ $350\,^\circ$C.

Réponse : $200$ minutes.

Question 2. On trace la droite d'équation $y=300$ et on repère les abscisses des points de la courbe situés sur cette droite.

La courbe est au-dessus de la droite pour $t$ compris entre $t\approx105$ et $t\approx335$.

La durée pendant laquelle la température dépasse $300\,^\circ$C est donc d'environ $335-105=230$ minutes.

Réponse : environ $230$ minutes.

Question 3. Le nombre $\dfrac{1}{600}\displaystyle\int_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t$ est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;600]$.

La fonction $f$ est positive, donc $\displaystyle\int_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $t=0$ et $t=600$.

On estime cette aire en comptant les carreaux sous la courbe. La température vaut $20\,^\circ$C à l'instant $0$, atteint environ $350\,^\circ$C pour $t=200$, puis redescend jusqu'à environ $155\,^\circ$C pour $t=600$. On obtient une valeur moyenne d'environ $260$.

Interprétation : la température moyenne à l'intérieur du foyer de l'appareil A, pendant les $10$ premières heures ($600$ minutes) après l'allumage, est d'environ $260\,^\circ$C.

Réponse : environ $260\,^\circ$C.

Partie 2 : étude d'une fonction

Question 1. Pour tout $t\geqslant0$, $g(t)=10t\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}+20$.

On pose $T=-0{,}01t$. Alors $t=-100\,T$, donc

Lorsque $t$ tend vers $+\infty$, $T$ tend vers $-\infty$. Par croissances comparées, $\lim\limits_{T\to-\infty}T\,\mathrm{e}^{T}=0$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{t\to+\infty}t\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}=0$.

Par opérations sur les limites :

Donc la limite de $g$ en $+\infty$ est $20$.

Réponse : $\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=20$.

Question 2. a) La fonction $g$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables.

On pose $u(t)=10t$ et $v(t)=\mathrm{e}^{-0{,}01t}$. Alors $u'(t)=10$ et, d'après la dérivée d'une composée $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(t)=-0{,}01t$, $v'(t)=-0{,}01\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}$.

Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $t\geqslant0$ :

Donc, pour tout $t\in[0\,;+\infty[$, $g'(t)=(-0{,}1\,t+10)\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}$.

Question 2. b) Pour tout $t\geqslant0$, $\mathrm{e}^{-0{,}01t}>0$. Donc $g'(t)$ a le même signe que $-0{,}1\,t+10$.

On a $-0{,}1\,t+10=0\iff t=100$, et $-0{,}1\,t+10>0\iff t<100$.

Donc :

• $g'(t)>0$ pour $t\in[0\,;100[$

• $g'(100)=0$

• $g'(t)<0$ pour $t\in\,]100\,;+\infty[$.

On en déduit les variations de $g$ :

• $g$ est strictement croissante sur $[0\,;100]$, de $g(0)=20$ à $g(100)=1000\,\mathrm{e}^{-1}+20\approx387{,}9$

• $g$ est strictement décroissante sur $[100\,;+\infty[$, de $g(100)\approx387{,}9$ vers la limite $20$ en $+\infty$ (question 1).

Le maximum de $g$ est donc $g(100)=\dfrac{1000}{\mathrm{e}}+20\approx387{,}9$, atteint pour $t=100$.

Question 3. On résout l'équation $g(t)=300$ en distinguant les deux intervalles de monotonie de $g$.

Sur $[0\,;100]$. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante. On a $g(0)=20<300<g(100)\approx387{,}9$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones), l'équation $g(t)=300$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;100]$.

Sur $[100\,;+\infty[$. La fonction $g$ est continue et strictement décroissante. On a $g(100)\approx387{,}9>300$ et $\lim\limits_{t\to+\infty}g(t)=20<300$.

D'après le même théorème, l'équation $g(t)=300$ admet une unique solution $\beta$ dans $[100\,;+\infty[$.

Comme $\alpha\leqslant100\leqslant\beta$ et que $g(100)\neq300$, on a $\alpha<100<\beta$ : les solutions $\alpha$ et $\beta$ sont distinctes.

Donc l'équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0\,;+\infty[$.

Valeurs approchées : à la calculatrice, $g(43)\approx299{,}7<300<g(44)\approx303{,}4$, donc $\alpha\approx43$. De même $g(193)\approx300{,}1>300>g(194)\approx298{,}8$, donc $\beta\approx193$.

Réponse : $\alpha\approx43$ et $\beta\approx193$ (valeurs approchées à l'unité).

Question 4. On calcule $\displaystyle\int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t$ en séparant les deux termes de $g$. Pour le premier, on intègre par parties.

On pose $u(t)=t$ et $v'(t)=\mathrm{e}^{-0{,}01t}$. Alors $u'(t)=1$ et $v(t)=-100\,\mathrm{e}^{-0{,}01t}$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;600]$, ce qui permet d'appliquer la formule d'intégration par parties :

On obtient

Donc

D'autre part, $\displaystyle\int_0^{600}20\,\mathrm{d}t=20\times600=12000$.

Par linéarité de l'intégrale :

Réponse : $\displaystyle\int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t=112000-700000\,\mathrm{e}^{-6}\approx110\,265$.

Partie 3 : évaluation

Pour chaque appareil, on examine les quatre critères.

Appareil de la marque B (modélisé par $g$ sur $[0\,;600]$).

• Critère 1 : la température maximale est $g(100)\approx387{,}9$, et $387{,}9>320$. Critère validé.

• Critère 2 : le maximum est atteint pour $t=100$ minutes, soit $1$ h $40$ min, durée inférieure à $2$ heures. Critère validé.

• Critère 3 : la température moyenne sur les $10$ premières heures ($600$ minutes) est

  $$\dfrac{1}{600}\int_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t=\dfrac{112000-700000\,\mathrm{e}^{-6}}{600}\approx183{,}8,$$
  et $183{,}8<250$. Critère non validé.

• Critère 4 : d'après les variations de $g$ et la question 3, $g(t)>300$ si et seulement si $t\in\,]\alpha\,;\beta[$. La durée pendant laquelle la température dépasse $300\,^\circ$C est $\beta-\alpha\approx193-43=150$ minutes, soit $2$ h $30$ min, durée inférieure à $5$ heures. Critère validé.

L'appareil B valide les critères 1, 2 et 4 : il obtient exactement $3$ étoiles.

Appareil de la marque A (lectures graphiques de la partie 1).

• Critère 1 : la température maximale est d'environ $350\,^\circ$C, et $350>320$. Critère validé.

• Critère 2 : le maximum est atteint au bout de $200$ minutes, soit $3$ h $20$ min, durée supérieure à $2$ heures. Critère non validé.

• Critère 3 : la température moyenne sur les $10$ premières heures est estimée à environ $260\,^\circ$C (question 3 de la partie 1), et $260>250$. Critère validé.

• Critère 4 : la température dépasse $300\,^\circ$C pendant environ $230$ minutes (question 2 de la partie 1), durée inférieure à $5$ heures, soit $300$ minutes. Critère validé.

L'appareil A valide les critères 1, 3 et 4 : il obtient exactement $3$ étoiles.

Donc chaque appareil obtient exactement trois étoiles.

Réponse : oui, chaque appareil obtient exactement trois étoiles (B : critères 1, 2 et 4   A : critères 1, 3 et 4).

Points clés attendus

• Partie 1 : lectures graphiques cohérentes avec le graphique (maximum, durée au-dessus de $300$, valeur moyenne) et interprétation de la valeur moyenne en contexte.

• Limite de $g$ en $+\infty$ : changement de variable et citation des croissances comparées.

• Dérivée de $g$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, puis signe de $g'$ justifié par la positivité de l'exponentielle.

• Équation $g(t)=300$ : théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur chacun des deux intervalles de monotonie, avec les hypothèses (continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes) vérifiées.

• Intégration par parties : choix de $u$ et $v'$, calcul complet du crochet et de l'intégrale restante.

• Partie 3 : examiner les quatre critères pour chacun des deux appareils avant de conclure.

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