Bac 2024, Centres étrangers - Suède : exercice 1

Affirmation 1. Fausse.

Pour déterminer si $f$ est solution de (E), on calcule $f'(x)-2f(x)$ et on compare à $-6x+1$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout réel $x$ :

Donc, pour tout réel $x$ :

Pour que $f$ soit solution de (E), il faudrait que $12x-8=-6x+1$ pour tout réel $x$.

Or cette égalité équivaut à $18x=9$, soit $x=\dfrac12$ : elle n'est pas vraie pour tout réel $x$.

Contre-exemple : en $x=0$, on a $f(0)=\mathrm{e}^{0}-0+1=2$ et $f'(0)=2-6=-4$, donc

Donc la fonction $f$ n'est pas solution de l'équation différentielle (E) : l'affirmation 1 est fausse.

Réponse : fausse.

Affirmation 2. Fausse.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q=\dfrac34$.

Comme $q\neq1$, la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique donne

On a $-1<\dfrac34<1$, donc, d'après la limite d'une suite géométrique de raison $q$ avec $-1<q<1$,

Par opérations sur les limites :

La suite $(u_n)$ converge vers $4$ : elle n'a donc pas pour limite $+\infty$. L'affirmation 2 est fausse.

Réponse : fausse   $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4$.

Affirmation 3. Fausse.

Dans la fonction suite(k), la ligne 4 ajoute à $S$, à chaque passage dans la boucle, le terme $\left(\dfrac34\right)^{k}$, où $k$ est le paramètre de la fonction, et non $\left(\dfrac34\right)^{i}$, où $i$ est l'indice de la boucle.

Comme la boucle for i in range(k) s'exécute $k$ fois, la fonction suite(k) renvoie

Pour $k=50$, suite(50) renvoie donc $50\times\left(\dfrac34\right)^{50}\approx2{,}8\times10^{-5}$.

Or $u_{50}=4\left(1-\left(\dfrac34\right)^{51}\right)$ est très proche de $4$ (somme des $51$ termes $\left(\frac34\right)^{i}$, pour $i$ allant de $0$ à $50$). Les deux valeurs sont différentes.

Vérification sur un petit paramètre : suite(1) renvoie $\dfrac34$, alors que $u_1=1+\dfrac34=\dfrac74$.

Donc l'instruction suite(50) ne renvoie pas $u_{50}$ : l'affirmation 3 est fausse.

Réponse : fausse.

Affirmation 4. Vraie.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables, et pour tout $x>0$ :

La tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ a pour coefficient directeur $f'(1)$. Elle est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si ce coefficient directeur est nul :

Il existe donc bien une valeur de $a$ convenable, à savoir $a=2$ : l'affirmation 4 est vraie.

Réponse : vraie   $a=2$.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : calculer $f'(x)-2f(x)$ et comparer à $-6x+1$ pour tout $x$, avec un contre-exemple chiffré.

• Affirmation 2 : reconnaître une somme géométrique, citer la formule et la limite de $q^n$ pour $-1<q<1$ : la suite converge vers $4$.

• Affirmation 3 : repérer l'erreur d'indice dans la boucle ($k$ au lieu de $i$) et la justifier par un exemple (suite(1)).

• Affirmation 4 : le coefficient directeur de la tangente est $f'(1)$, qui doit être nul.

• Chaque réponse vrai ou faux doit être justifiée, sans quoi elle ne rapporte aucun point.

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