Bac 2024, Asie : exercice 3

Affirmation 1. Vraie.

Pour tout entier naturel $n$, on a

On étudie la limite du majorant. Pour $n\geqslant1$, on factorise numérateur et dénominateur par $n^2$ :

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac4n=0$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac7{n^2}=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1{n^2}=0$.

Par quotient, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\dfrac36=\dfrac12$.

La suite constante égale à $\dfrac12$ converge vers $\dfrac12$.

La suite $(u_n)$ est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite $\dfrac12$ : d'après le théorème des gendarmes, $(u_n)$ converge et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac12$.

L'affirmation 1 est donc vraie.

Affirmation 2. Fausse.

La fonction $h$ est dérivable sur $[-4\,;4]$. Elle est convexe sur $[-1\,;3]$ si et seulement si sa dérivée $h'$ est croissante sur $[-1\,;3]$.

On lit sur la courbe $\mathcal{C}_{h'}$ : $h'$ croît de $-1$ jusqu'à environ $0{,}6$, où elle atteint un maximum voisin de $5{,}5$, puis décroît jusqu'à $3$.

Par exemple, $h'(1)\approx5$ et $h'(3)=0$ : on a $1<3$ mais $h'(1)>h'(3)$. La fonction $h'$ n'est donc pas croissante sur $[-1\,;3]$.

Donc $h$ n'est pas convexe sur $[-1\,;3]$ : l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Vraie.

On dénombre les codes : 4 chiffres (éventuellement identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B, C.

Pour les chiffres, chacune des 4 positions admet $10$ choix : $10^4$ possibilités.

Pour les lettres, il y a $3$ choix pour la première, puis $2$ pour la seconde (distincte de la première) : $3\times2=6$ possibilités.

Le nombre total de codes est $10^4\times6=60\,000$.

On compte le contraire de « contenir au moins un $0$ », c'est-à-dire « ne contenir aucun $0$ ». Chaque position admet alors $9$ chiffres possibles : $9^4\times6=6561\times6=39\,366$ codes.

Le nombre de codes contenant au moins un $0$ est donc

L'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Vraie.

La fonction $f:x\mapsto x\ln x$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables.

Avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$, la formule $(uv)'=u'v+uv'$ donne, pour tout $x>0$,

On calcule alors

Donc $f$ vérifie $xy'-y=x$ pour tout $x>0$ : c'est une solution de l'équation différentielle sur $]0\,;+\infty[$.

L'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : factoriser par $n^2$ pour obtenir la limite du majorant, puis citer le théorème des gendarmes avec les deux bornes de même limite.

• Affirmation 2 : relier la convexité de $h$ au sens de variation de $h'$, et appuyer la réponse sur une lecture graphique précise.

• Affirmation 3 : passer par le dénombrement du contraire (aucun $0$), sans oublier le facteur $3\times2$ pour les lettres.

• Affirmation 4 : calculer $f'$ avec $(uv)'$ puis vérifier l'égalité de l'équation différentielle.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.