Bac 2024, Asie : exercice 4

Affirmation 1. Fausse.

On donne un contre-exemple. Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$.

Cette suite est strictement décroissante, car $n\mapsto\dfrac{1}{n+1}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{N}$.

Elle est minorée par $0$, car $u_n>1>0$ pour tout $n$.

Pourtant $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\neq0$.

D'après le théorème de la limite monotone, une suite décroissante et minorée converge, mais sa limite est un réel supérieur ou égal au minorant, pas nécessairement égal à $0$.

Donc l'affirmation 1 est fausse.

Réponse : fausse.

Affirmation 2. Vraie.

Pour tout entier naturel $n$ :

Comme $\dfrac97>1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac97\right)^n=+\infty$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}-\left(\dfrac97\right)^n=-\infty$.

Comme $-1<\dfrac37<1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac37\right)^n=0$.

Par somme de limites, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}=-\infty$.

Par hypothèse, pour tout entier $n$, $u_n\leqslant\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}$. Or la suite majorante tend vers $-\infty$.

D'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty$. L'affirmation 2 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 3. Vraie.

On exécute terme(4) : $U$ vaut $1$ au départ, puis la boucle for i in range(4) fait prendre à $i$ les valeurs $0$, $1$, $2$, $3$, et à chaque tour $U$ est remplacé par $U+i$.

• $i=0$ : $U=1+0=1$

• $i=1$ : $U=1+1=2$

• $i=2$ : $U=2+2=4$

• $i=3$ : $U=4+3=7$.

La fonction renvoie $U=7$. L'affirmation 3 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 4. Fausse.

Le prix A est de $15\times1000=15\,000$ euros.

Pour le prix B, les sommes reçues chaque jour sont $1$, $2$, $4$, $\dots$, $2^{14}$ euros. Ce sont les $15$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$.

Leur somme est

Comme $32\,767>15\,000$, le prix B a une valeur plus élevée que le prix A. L'affirmation 4 est fausse.

Réponse : fausse ($15\,000$ euros pour le prix A, $32\,767$ euros pour le prix B).

Affirmation 5. Vraie.

Soit $n\geqslant1$ un entier. D'après la relation de Chasles pour les intégrales :

Pour tout $x\in[n\,;n+1]$, on a $x\geqslant n\geqslant1$, donc $\ln x\geqslant\ln1=0$ car la fonction $\ln$ est croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Par positivité de l'intégrale (la fonction $\ln$ est continue et positive sur $[n\,;n+1]$, et les bornes sont dans l'ordre croissant), $\displaystyle\int_n^{n+1}\ln x\,\mathrm{d}x\geqslant0$.

Donc $v_{n+1}-v_n\geqslant0$ pour tout $n\geqslant1$ : la suite $(v_n)$ est croissante. L'affirmation 5 est vraie.

Réponse : vraie.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : un contre-exemple précis (suite décroissante, minorée par $0$, de limite non nulle)   le théorème de la limite monotone donne la convergence, pas la valeur de la limite.

• Affirmation 2 : réécrire le quotient avec des suites géométriques, étudier les raisons $\frac97$ et $\frac37$, puis citer le théorème de comparaison.

• Affirmation 3 : dérouler l'algorithme tour par tour, sans oublier que range(4) commence à $0$.

• Affirmation 4 : reconnaître une somme géométrique de $15$ termes (de $2^0$ à $2^{14}$) et comparer avec $15\,000$.

• Affirmation 5 : exprimer $v_{n+1}-v_n$ comme une intégrale et justifier sa positivité par le signe de $\ln$ sur $[n\,;n+1]$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.