Bac 2024, Asie : exercice 3

Partie A

Question 1. D'après l'énoncé, $5{,}7\,\%$ des adultes français avaient déjà été infectés au 11 mai 2020. On prélève un individu dans cette population : la probabilité qu'il ait déjà été infecté est la proportion d'individus infectés.

Donc $P(I)=0{,}057$.

Réponse : $P(I)=0{,}057$.

Question 2. a) On répète $100$ fois la même épreuve : prélever une personne et regarder si elle a déjà été infectée. Cette épreuve n'a que deux issues, le succès « la personne a déjà été infectée » de probabilité $p=0{,}057$ et l'échec : c'est une épreuve de Bernoulli.

Les personnes sont choisies de façon indépendante et le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise : les $100$ épreuves sont identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans cette répétition de $n=100$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p=0{,}057$.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}057$, notée $\mathcal{B}(100\,;0{,}057)$.

Question 2. b) L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ est $np$. Donc

Interprétation : en prélevant un grand nombre d'échantillons de $100$ personnes, on trouve en moyenne $5{,}7$ personnes déjà infectées par échantillon.

Réponse : $\mathrm{E}(X)=5{,}7$.

Question 2. c) Aucune personne infectée correspond à $X=0$. Pour une loi binomiale de paramètres $100$ et $0{,}057$ :

Donc la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon est d'environ $0{,}0028$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près).

Réponse : $P(X=0)\approx0{,}0028$.

Question 2. d) L'évènement « au moins $2$ personnes infectées » est l'évènement contraire de $X\leqslant1$. Donc

On a $P(X=0)\approx0{,}002826$ et $P(X=1)=\binom{100}{1}\times0{,}057\times0{,}943^{99}\approx0{,}017082$, donc $P(X\leqslant1)\approx0{,}0199$.

Donc

Donc la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes infectées dans l'échantillon est d'environ $0{,}9801$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près).

Réponse : $P(X\geqslant2)\approx0{,}9801$.

Question 2. e) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant n)>0{,}9$. La suite des probabilités $P(X\leqslant n)$ est croissante en $n$, on calcule donc ses valeurs successives à la calculatrice :

On a $P(X\leqslant8)\approx0{,}8829<0{,}9$ et $P(X\leqslant9)\approx0{,}9408>0{,}9$.

Donc le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant n)>0{,}9$ est $n=9$.

Interprétation : avec une probabilité supérieure à $0{,}9$, un échantillon de $100$ personnes contient au plus $9$ personnes déjà infectées.

Réponse : $n=9$.

Partie B

Question 1. On traduit les données en probabilités :

• $P(I)=0{,}057$ et $P(\overline{I})=1-0{,}057=0{,}943$

• sensibilité : $P_I(T)=0{,}8$, donc $P_I(\overline{T})=1-0{,}8=0{,}2$

• spécificité : $P_{\overline{I}}(\overline{T})=0{,}99$, donc $P_{\overline{I}}(T)=1-0{,}99=0{,}01$.

L'arbre se complète donc ainsi : sur la branche $I$ (pondérée par $0{,}057$), les branches $T$ et $\overline{T}$ sont pondérées par $0{,}8$ et $0{,}2$   sur la branche $\overline{I}$ (pondérée par $0{,}943$), les branches $T$ et $\overline{T}$ sont pondérées par $0{,}01$ et $0{,}99$.

Question 2. Les évènements $I$ et $\overline{I}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

Donc $p(T)=0{,}05503$.

Question 3. On cherche la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif, c'est-à-dire $P_T(I)$.

Par définition de la probabilité conditionnelle, comme $p(T)\neq0$ :

Donc la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif est d'environ $0{,}8286$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près).

Réponse : $P_T(I)\approx0{,}8286$.

Partie C

Dans ce groupe, on note $x=P(I)$ la probabilité qu'un individu choisi au hasard ait été infecté. C'est la probabilité cherchée. On a $P(\overline{I})=1-x$, et la sensibilité et la spécificité du test sont inchangées : $P_I(T)=0{,}8$ et $P_{\overline{I}}(T)=0{,}01$.

Les évènements $I$ et $\overline{I}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

La proportion de tests positifs est $29{,}44\,\%$, donc $P(T)=0{,}2944$. On résout :

Donc la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans ce groupe ait été infecté est $0{,}36$.

Réponse : $0{,}36$.

Points clés attendus

• Loi binomiale : justifier par la répétition de $100$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), et donner les paramètres $n=100$ et $p=0{,}057$.

• Probabilité d'« au moins deux » : passer par l'évènement contraire, et donner les arrondis demandés à $10^{-4}$ près.

• Seuil : tester des valeurs consécutives de $n$ à la calculatrice, en indiquant les deux valeurs encadrant $0{,}9$.

• Traduire sensibilité et spécificité en probabilités conditionnelles, puis citer la formule des probabilités totales avec sa partition.

• Probabilité conditionnelle $P_T(I)$ : écrire la définition avant le calcul.

• Partie C : prendre la proportion d'infectés comme inconnue $x$ et résoudre l'équation obtenue avec la formule des probabilités totales.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.